F - Knapsack for All Subsets /

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配点 : 600

問題文

長さ N の正整数列 A_1, A_2, \ldots, A_N と正の整数 S が与えられます。
集合\{1, 2, \ldots , N \} の空でない部分集合 T について、f(T) を以下のように定めます。

  • T の空でない部分集合 \{x_1, x_2, \ldots , x_k \} であって、 A_{x_1}+A_{x_2}+\cdots +A_{x_k} = S をみたすものの個数

T として考えられる集合は 2^N-1 通りありますが、そのすべてに対する f(T) の和を求めてください。ただし、答えは非常に大きくなることがあるので、998244353 で割ったあまりを出力してください。

制約

  • 入力は全て整数である。
  • 1 \leq N \leq 3000
  • 1 \leq S \leq 3000
  • 1 \leq A_i \leq 3000

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N S
A_1 A_2 ... A_N

出力

f(T) の和を 998244353 で割ったあまりを出力せよ。


入力例 1

3 4
2 2 4

出力例 1

6

それぞれ以下のように計算できて、その和は 6 です。

  • f(\{1\}) = 0
  • f(\{2\}) = 0
  • f(\{3\}) = 1 ( \{3\}1 つ)
  • f(\{1, 2\}) = 1 ( \{1, 2\}1 つ)
  • f(\{2, 3\}) = 1 ( \{3\}1 つ)
  • f(\{1, 3\}) = 1 ( \{3\}1 つ)
  • f(\{1, 2, 3\}) = 2 ( \{1, 2\}, \{3\}2 つ)

入力例 2

5 8
9 9 9 9 9

出力例 2

0

入力例 3

10 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3

出力例 3

3296

Score : 600 points

Problem Statement

Given are a sequence of N positive integers A_1, A_2, \ldots, A_N and another positive integer S.
For a non-empty subset T of the set \{1, 2, \ldots , N \}, let us define f(T) as follows:

  • f(T) is the number of different non-empty subsets \{x_1, x_2, \ldots , x_k \} of T such that A_{x_1}+A_{x_2}+\cdots +A_{x_k} = S.

Find the sum of f(T) over all 2^N-1 subsets T of \{1, 2, \ldots , N \}. Since the sum can be enormous, print it modulo 998244353.

Constraints

  • All values in input are integers.
  • 1 \leq N \leq 3000
  • 1 \leq S \leq 3000
  • 1 \leq A_i \leq 3000

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N S
A_1 A_2 ... A_N

Output

Print the sum of f(T) modulo 998244353.


Sample Input 1

3 4
2 2 4

Sample Output 1

6

For each T, the value of f(T) is shown below. The sum of these values is 6.

  • f(\{1\}) = 0
  • f(\{2\}) = 0
  • f(\{3\}) = 1 (One subset \{3\} satisfies the condition.)
  • f(\{1, 2\}) = 1 (\{1, 2\})
  • f(\{2, 3\}) = 1 (\{3\})
  • f(\{1, 3\}) = 1 (\{3\})
  • f(\{1, 2, 3\}) = 2 (\{1, 2\}, \{3\})

Sample Input 2

5 8
9 9 9 9 9

Sample Output 2

0

Sample Input 3

10 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3

Sample Output 3

3296