答えが \(\displaystyle[x^S]\prod_{i=1}^{N}(2+x^{A_i})\) となる所まではよいです．例えばこれは分割統治FFTで求めることができますが，さらなる高速化を考えます．多項式は次数 \(S+1\) 以上の項は無視して考えることとします．\(A\) 内の要素 \(a\) の出現回数を \(c_a\) と表すと，

\[\prod_{i=1}^{N}(2+x^{A_i})=2^{N}\prod_{i=1}^{N}\left(1+\frac{x^{A_i}}{2}\right)=2^N\prod_{i=1}^{S}\left(1+\frac{x^{i}}{2}\right)^{c_i}\]

となり，

\[\begin{aligned} \log\left(\prod_{i=1}^{S}\left(1+\frac{x^{i}}{2}\right)^{c_i}\right)&=\sum_{i=1}^{S}c_i\log\left(1+\frac{x^{i}}{2}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{S}c_i\sum_{j=1}^{\left\lfloor S/i\right\rfloor}\dfrac{(-1)^{j-1}}{j\cdot2^j}x^{ij} \end{aligned}\]

と変形すると，この式は \(O(S\log S)\) で計算でき，この式を \(O(S\log S)\) で \(\exp\) することができるので，全体として \(O(N+S\log S)\) でこの問題を解くことができます．