街についたところでちょうど燃料が尽きるような移動はできますか

はい。
The fuel tank is allowed to be empty at the end of a move.

「互いに区別できる」というのは、i != j ならば Li != Lj という解釈でよろしいでしょうか

複数本の棒が同じ長さであったとしてもそれらは区別される、という意図です。
Multiple sticks with the same length are distinguished.

Are the roads bidirectional?

Yes, we forgot to mention it in English version. Thanks for pointing it out, we will fix it soon.