2 を仕切りと思います。このとき、仕切りの間（と端）の \(X_2+1\) 個について

• \(1\) つ以上の 1
• \(1\) つ以上の 3
• なにもなし

のいずれかの埋め方があります。

よって、求めるものは

\(\displaystyle [Y^{X_1}Z^{X_3}] \left( \frac{Y}{1-Y} + \frac{Z}{1-Z} + 1\right)^{X_2 + 1}\)

です。通分すれば

\(\displaystyle = [Y^{X_1}Z^{X_3}] \left( \frac{1 - YZ}{(1-Y)(1-Z)}\right)^{X_2 + 1}\)

となります。分子が \([Y^kZ^k]\) をとる時の寄与を考えることにすると

• \(\displaystyle \sum_{k} (-1)^k \binom{X_2+1}{k} = [Y^kZ^k](1-YZ)^{X_2+1}\) （二項定理）

• \(\displaystyle \binom{X_2 + X_1 - k}{X_1 - k} = [Y^{X_1-k}]\frac{1}{(1-Y)^{X_2+1}}\) （負の二項係数）

を用いれば

\(\displaystyle = \sum_{k} [Y^kZ^k](1-YZ)^{X_2+1} [Y^{X_1-k}]\frac{1}{(1-Y)^{X_2+1}} [Z^{X_3-k}]\frac{1}{(1-Z)^{X_2+1}}\)

\(\displaystyle = \sum_{k} (-1)^k \binom{X_2+1}{k} \binom{X_2+X_1 - k}{X_1 - k} \binom{X_2+X_3- k}{X_3 - k}\)

が求めるものです。