F - Rectangle GCD 解説 /

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配点 : 500 点

問題文

正整数 N と長さ N の正整数列 A=(A_1,A_2,\dots,A_N) と B=(B_1,B_2,\dots,B_N) が与えられます。

N \times N のマス目があります。上から i 行目、左から j 列目のマスをマス (i,j) と呼びます。1 \le i,j \le N を満たす整数の組 (i,j) に対し、マス (i,j) に A_i + B_j が書かれています。以下のクエリを Q 個処理してください。

  • 1 \le h_1 \le h_2 \le N,1 \le w_1 \le w_2 \le N を満たす整数の組 h_1,h_2,w_1,w_2 が与えられる。左上隅が (h_1,w_1)、右下隅が (h_2,w_2) である矩形領域に含まれる整数の最大公約数を求めよ。

制約

  • 1 \le N,Q \le 2 \times 10^5
  • 1 \le A_i,B_i \le 10^9
  • 1 \le h_1 \le h_2 \le N
  • 1 \le w_1 \le w_2 \le N
  • 入力はすべて整数である。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N Q
A_1 A_2 \dots A_N
B_1 B_2 \dots B_N
\mathrm{query}_1
\mathrm{query}_2
\vdots
\mathrm{query}_Q

各クエリは以下の形式で与えられる。

h_1 h_2 w_1 w_2

出力

Q 行出力せよ。i 行目には \mathrm{query}_i の答えを出力せよ。

入力例 1

3 5
3 5 2
8 1 3
1 2 2 3
1 3 1 3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 1 1

出力例 1

2
1
11
6
10

マス (i,j) に書かれている整数を C_{i,j} とします。

1 個目のクエリについて、C_{1,2}=4,C_{1,3}=6,C_{2,2}=6,C_{2,3}=8 なのでこれらの最大公約数の 2 が答えとなります。

入力例 2

1 1
9
100
1 1 1 1

出力例 2

109

Score : 500 points

Problem Statement

You are given a positive integer N and sequences of N positive integers each: A=(A_1,A_2,\dots,A_N) and B=(B_1,B_2,\dots,B_N).

We have an N \times N grid. The square at the i-th row from the top and the j-th column from the left is called the square (i,j). For each pair of integers (i,j) such that 1 \le i,j \le N, the square (i,j) has the integer A_i + B_j written on it. Process Q queries of the following form.

  • You are given a quadruple of integers h_1,h_2,w_1,w_2 such that 1 \le h_1 \le h_2 \le N,1 \le w_1 \le w_2 \le N. Find the greatest common divisor of the integers contained in the rectangle region whose top-left and bottom-right corners are (h_1,w_1) and (h_2,w_2), respectively.

Constraints

  • 1 \le N,Q \le 2 \times 10^5
  • 1 \le A_i,B_i \le 10^9
  • 1 \le h_1 \le h_2 \le N
  • 1 \le w_1 \le w_2 \le N
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N Q
A_1 A_2 \dots A_N
B_1 B_2 \dots B_N
\mathrm{query}_1
\mathrm{query}_2
\vdots
\mathrm{query}_Q

Each query is in the following format:

h_1 h_2 w_1 w_2

Output

Print Q lines. The i-th line should contain the answer to \mathrm{query}_i.

Sample Input 1

3 5
3 5 2
8 1 3
1 2 2 3
1 3 1 3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 1 1

Sample Output 1

2
1
11
6
10

Let C_{i,j} denote the integer on the square (i,j).

For the 1-st query, we have C_{1,2}=4,C_{1,3}=6,C_{2,2}=6,C_{2,3}=8, so the answer is their greatest common divisor, which is 2.

Sample Input 2

1 1
9
100
1 1 1 1

Sample Output 2

109