問題文

N を正整数とする．

集合 \{1, 2, \ldots, 2N\} の N 元集合 2 個への分割全体を \mathcal{P} とする．\lvert \mathcal{P} \rvert = \frac{1}{2} \binom{2N}{N} である．例えば，N = 3 のとき \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} \in \mathcal{P} である．

1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} を満たす整数組 (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) に対し，良い分割とは，P \in \mathcal{P} であって，任意の I \in P に対し，辺の長さの集合が \{ a_i \mid i \in I \} となる非退化単純 N 角形が存在することとする．例えば，N = 3 のとき \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} が良い分割であるための条件は，a_1, a_5, a_6 が三角形の 3 辺の長さかつ a_2, a_3, a_4 が三角形の 3 辺の長さとなることである．

N および，P \in \mathcal{P} が与えられる．良い分割がちょうど P のみであるような整数 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} は存在するか？

• 存在するとき，そのような (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) であってさらに a_{2N} \le 10^{17} を満たすものが存在することが証明できる．これらすべてを満たす (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) を 1 つ求めよ．
• 存在しないとき，次の条件を満たす非負整数 k と分割 Q_1, Q_2, \ldots, Q_k \in \mathcal{P} が存在するので，そのようなもののうち k が最小なものを 1 つ求めよ：
  • j = 1, 2, \ldots, k に対し，Q_j \ne P．
  • 任意の 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} に対し，P が良い分割ならば，Q_1, Q_2, \ldots, Q_k のうち少なくとも 1 個は良い分割である．

入出力において，\mathcal{P} の元は，N 個の 0 と N 個の 1 からなる末尾が 1 の文字列で表す．各文字種の index の集合が分割の各元を表す．例えば，N = 3 のとき \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} を 100011 で表す．

制約

• 3 \le N \le 5．

部分点

• 制約を満たすすべての可能な入力データが 1 個ずつ含まれる．各データについて，正解した場合は N 点が与えられる．

入力例 1

3 100011

出力例 1

YES 2 4 6 8 10 11

P = \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} である．

この出力例について，2, 10, 11 は三角形の 3 辺の長さとなり，4, 6, 8 も三角形の 3 辺の長さとなるので，P が良い分割になっている．他の分割が良い分割にならないこともわかる．

入力例 2

3 100101

出力例 2

NO 1 100011

P = \{ \{ 1, 4, 6 \}, \{ 2, 3, 5 \} \} である．

以下の 3 個の条件

• 1 \le a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6
• a_1, a_4, a_6 が三角形の 3 辺の長さとなる
• a_2, a_3, a_5 が三角形の 3 辺の長さとなる

が成り立つならば，以下の 2 個の条件

• a_1, a_5, a_6 が三角形の 3 辺の長さとなる
• a_2, a_3, a_4 が三角形の 3 辺の長さとなる

が成り立つことがわかる．