この解説では，0-indexed とします．

数列 $V$ が $K$-rep である条件は $V_{i} = V_{i + K}$ が $0 \leq i < N - K$ について成立することです．すなわち，$V_i$ は $i$ を $K$ で割った余りのみに依存するということです．
これより，$V$ が $K$-rep でない条件は $V_{i} \neq V_j$ かつ $i - j$ が $K$ の倍数となる $(i, j)$ が存在することです．
したがって，$A$ における問題では $A_i \neq A_j$ かつ $A_i \neq -1, A_j \neq -1$ であり，$i - j$ が $K$ の倍数となる $(i, j)$ が存在するかを判定すれば良いです．

そこで，$A_i \neq A_j$ かつ $A_i \neq -1, A_j \neq -1$ となるような $|i - j|$ としてありうる値の集合 $S$ を求めることを考えます．これはワイルドカードマッチングというものを用います．
具体的には，以下の手法で表すことができます．

• $f(x, y) = xy \left( x - y \right)^2$ とします．また，$A_i = -1$ であるような $A_i$ について，$A_i = 0$ とします．
• $A'$ を $A$ を逆順にした数列とします．
• $A$ と $A'$ の畳み込み $C$ を求めます．ここで，$C_i = \sum_{j = 0}^{i} f(A_j, A'_{i - j})$ です．
• $C_i \neq 0$ となる $i$ について $N - i - 1$ を集めた集合が求めるべき集合 $S$ です．

$x, y$ が非負のもとでは $f(x, y)$ が $x \neq y, x \neq 0, y \neq 0$ のとき正であり，そうでないとき $0$ となることより正当性が示せます．
具体的に畳み込みを求めるときは，$f(x, y)$ を $f(x, y) = xy \left( x - y \right)^2 = x^3y - 2x^2y^2 + xy^3$ と展開して，各項ごとに求めると良いです．例えば，$x^3y$ に相当する項を求める際には，$A_i := A_i^3$ として畳み込み演算を行えば良いです．

$S$ を求めたあとは，$K = 1, 2, \ldots, N$ について $S$ の要素で $K$ の倍数となるものが存在するかを判定すれば良いです．
これはメビウス変換で行うことができます．愚直に $K$ の倍数を全て見ても調和級数の議論より十分高速です．

以上の議論より，この問題は $O(N \log N)$ で解けました．

なお，$C$ の値はこの問題の制約では long long の範囲に収まらないことがあるので注意してください．具体的にはいくつかの素数 $P$ を用いて $\mathrm{mod} \ P$ 上で $C$ を計算し，その全てで $C_i = 0$ となることを確認すれば良いです．$C_i$ の真の値の上界として $N^5 < 10^{27}$ が得られるため，用いる素数 $P$ の積が上界以上ならば決定的な解法です．