結論から述べれば、構築可能な \((H,W)\) の必要十分条件は次のようになります。

\[(H,W) = (2,2),(3,3),(5,5),(6n+9,6m+9),(6n+11,6m+11)\ (n,m=0,1,\dots)\]

まずはこれらの \((H,W)\) について構築可能であることを確かめましょう。

\((2,2),(3,3),(5,5)\) については次のように構築できます。

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また、外側から \(3\) マス分を次のように埋めることで \(H,W\) が \(6\) ずつ小さい問題に帰着できます。

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適宜転置することによって、構築すべきは \((H,W)=(9,6m+9),(11,6m+11)\ (m=0,1,\dots)\) のものに限られました。たとえば、長さ \(6\) の繰り返し単位を構築することができれば良いです。 \((H,W)=(9,39),(11,41)\) の解のひとつは以下のように構築できます。

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このように適切に両端を構築し、繰り返し単位を中間に並べることで、解のひとつを得ることができます。

最後に、これら以外の \((H,W)\) では不可能であることを示します。