計算量は劣りますが，$3$ 次元凸包を軽い実装で得る方法を説明します．
一般に，「ある点 $p$ がある凸な立体 $v$ の中もしくは境界上に存在する」ということは $v$ を構成する各平面についてその平面より上にあるか下にあるか(場合によっては左にあるか右にあるか)の制約があり，そのすべての制約を満たすということです．なお，$p$ がある平面上にあるとき，その平面に関する制約を満たしているとします．
具体例として入力例 $1$ の凸包を考えると，$p = (x, y, z)$ が凸包の内部にあることは $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1$ ということです．
例えば，凸包を構成する平面の $1$ つに $(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ を通る $x = 0$ が存在します．この平面より右側に $p$ が存在することが制約の $1$ つです．他には $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ を通る $x + y + z = 1$ が存在し，この平面より下側に $p$ が存在することが制約の $1$ つです．

この例のように，境界となる平面と，その平面より上側にあるか下側にあるかの組を管理して $3$ 次元凸包を得ることを考えます．まず，$3$ 点を通る平面が境界となる条件は以下のように書けます．

「すべての点がその平面より上側もしくは平面上に存在する」または「すべての点がその平面より下側もしくは平面上に存在する」のいずれかを満たす．

平面の方程式を $ax + by + cz + d = 0$ の形で管理すればある点が平面のどちら側にあるかは $ax + by + cz + d$ の $(x, y, z)$ に具体的な値を代入した際の符号により判定できます．
$3$ 点を通る平面は外積を用いれば $O(1)$ で計算できます．したがって，ある平面が凸包の境界となるか，もし境界となるならば制約はどうなるかは $O(N)$ で計算できます．平面の選び方は $O(N^3)$ 通りなので $O(N^4)$ で凸包の情報を得ることができます．
ここで，同一平面はその重複を取り除くことで平面の個数を $O(N)$ とできます．また，同一直線上の $3$ 点を選んだ場合，実装によっては平面の方程式が $0 = 0$ となり RE となりうるので注意してください．

後は，凸包の情報から凸包の \(k\) 倍拡大上にある格子点の個数を高々 \(4\) 回取得すれば多項式補間により解くことができます．(公式解説参照)

\((x, y)\) を固定したときに平面に関する制約は \(z\) の不等式で書くことができます．具体的には \(ax + by + cz + kd \leq 0\) もしくは \(ax + by + cz + kd \geq 0\) の形になります．

したがって \(M = \max \{ |x_i|, |y_i| \}\) とすると，\(k\) 倍拡大上にある格子点の個数は \(O(N k^2 M^2)\) で計算できます．

結論として，この問題は \(O(N^4 + NM^2)\) で解くことができます．なお，多項式補間で得られた \(K\) に関する多項式を観察すると \(K = 0\) で \(1\) となるため，\(k\) 倍拡大上にある格子点の個数を計算する回数を \(3\) 回とでき，定数倍の改善が見込まれます．

実装例 (\(3\) 回計算した場合, 1.3s 前後)
実装例 (\(4\) 回計算した場合, 2.6s 前後)