部分長方形の縦横の長さ \(h,w\) (\(1 \leq h \leq N, 1 \leq w \leq M\)) を一つ固定してみます．

すると，この部分長方形内部の値の総和は，部分長方形の左上の値から簡単に計算できるとわかります． 具体的には，左上の値が \(v\) だった場合，総和は \((2v+(h-1) \times M+w-1) \times h \times w/2\) になります． よって，目標となる総和から，\(v\) の値を逆算できます． あとは実際に \(v\) を左上とするサイズ \(h,w\) の長方形が取れるかどうか確認すればよいです．

\(h,w\) のペアを全て試すことで，この問題は \(O(NM)\) 時間で解けます．

解答例(C++)