問題の条件を、「ブーメランができる」と言うことにします。

四角形が成立して（ \(A+B+C+D\gt 2\times \max(A,B,C,D)\) ）、かつ、少なくとも一組の対辺の長さが異なること（ \(A\neq C\lor B\neq D\) ）が、ブーメランができることの必要十分条件です。

四角形が成立するという条件のもとで、少なくとも \(1\) 組の対辺の長さが異なることとブーメランができることが同値であることを示します。

\((\implies)\) 連続する \(2\) つの辺であって、長さの和がそれ以外の辺の長さの和より小さなものが存在します。一般性を失わずに、それらの辺の長さを \(A,B\) とします。 このとき \(A+B\lt C+D\) です。 四角形が成立するので、 \(A+B,C,D\) を辺の長さに持つ非退化な三角形が成立します。その三角形において長さが \(A+B\) である辺を内向きに微小に折り曲げることで、ブーメランができます。

\((\impliedby)\) 対偶を示します。 \(A=C,B=D\) とします。 このとき、自己交叉しない四角形 \(pqrs\) は \(2\) 組の対辺の長さがそれぞれ等しいので平行四辺形となります。よって内角が \(180\) 度を超えることはないので、ブーメランができません。