\(N\) 個の都市それぞれを頂点とし、 都市 \(u\) から都市 \(v\) への道路を、頂点 \(u\) から頂点 \(v\) への有向辺で表現した有向グラフを考えます。

青木君がいくらでも旅行を続けることができる必要十分条件は、 この有向グラフに閉路が存在することです。

閉路を持たない有向グラフは、有向無閉路グラフ（Directed Acyclic Graph, DAG）と呼ばれます。 よって、この問題は、与えられた有向グラフがDAGであるかどうかを判定する問題です。

有向グラフがDAGかどうかの判定は、深さ優先探索を用いて行うことができます。「DAG 判定」などでインターネット検索すると詳しい情報が得られます。