1度ボールが当たった的は、グリッドから取り除かれるとしてよいです。

グリッドの状態が \(G\) であるときの答えを \(E(G)\) とします。また、\(G\) からマス \(p\) にある的を(存在するならば)取り除いた状態を \(f(G,p)\) とします。このとき

\[ E(G)=\min_p \left\{ (E(f(G,p))+1)*\frac{1}{5}+ (E(f(G,pの上))+1)*\frac{1}{5}+ (E(f(G,pの下))+1)*\frac{1}{5}+ (E(f(G,pの右))+1)*\frac{1}{5}+ (E(f(G,pの左))+1)*\frac{1}{5} \right\}\]

となります。\(f(G,p)\) に存在する的の個数は、\(f(G,p)\neq G\) ならば、\(G\) に存在する的の個数未満なので、メモ化再帰などで求めることができます。

右辺に \(E(G)\) が現れる場合の扱いに注意してください(各 \(p\) ごとに、移項して右辺に \(E(G)\) が表れないように変形してから計算すればよいです)。