漸化式を立てる解法です。（漸化式から一般項を導出するまでのパートは扱いません。）

時刻 \(i\) 秒の移動直後の座標を \((f_x(i), f_y(i))\) とすると、求める期待値は \((f_x(T), f_y(T))\) です。

時刻 \(i\) 秒で \((x+1, y), (x-1, y), (x, y+1), (x, y-1)\) に移動する確率を \(g_{x+}(i), g_{x-}(i), g_{y+}(i), g_{y-}(i)\) とします。

漸化式は以下として表されます。

• \(f_x(i) = f_x(i-1) + g_{x+}(i) - g_{x-}(i)\)
• \(f_y(i) = f_y(i-1) + g_{y+}(i) - g_{y-}(i)\)
• \(\displaystyle g_{x+}(i+1) = \frac{g_{x+}(i) + g_{y+}(i) + g_{y-}(i)}{3}\)
• \(\displaystyle g_{x-}(i+1) = \frac{g_{x-}(i) + g_{y+}(i) + g_{y-}(i)}{3}\)
• \(\displaystyle g_{y+}(i+1) = \frac{g_{x+}(i) + g_{x-}(i) + g_{y+}(i)}{3}\)
• \(\displaystyle g_{y-}(i+1) = \frac{g_{x+}(i) + g_{x-}(i) + g_{y-}(i)}{3}\)
• \(f_x(0) = f_y(0) = 0\)
• \(g_{x+}(1) = 1, ~ g_{x-}(1) = g_{y+}(1) = g_{y-}(1) = 0\)
• \(g_{x+}(i) + g_{x-}(i) + g_{y+}(i) + g_{y-}(i) = 1\)

最後の式を用いると \(g_{x+}, g_{x-}, g_{y+}, g_{y-}\) について \(\displaystyle g_{x+}(i) = \frac{2+g_{x+}(i-2)}{9}\) などと変形でき、初項の違いなどに注意して解くと以下となります。

• \(\displaystyle g_{x+}(2i-1) = \frac{3}{4・9^{i-1}} + \frac{1}{4}\)

• \(\displaystyle g_{x+}(2i) = \frac{1}{12・9^{i-1}} + \frac{1}{4}\)

• \(\displaystyle g_{x-}(2i-1) = g_{x-}(2i) = \frac{-1}{4・9^{i-1}} + \frac{1}{4}\)

• \(\displaystyle g_{y+}(i) = g_{y-}(i) = \frac{1}{4}\left(\frac{-1}{3}\right)^{i-1} + \frac{1}{4}\)

したがって、\(f_x, f_y\) について以下が得られます。

• \(\displaystyle f_x(2i-1) = f_x(2i-2) + \frac{1}{9^{i-1}}\)
• \(\displaystyle f_x(2i) = f_x(2i-1) + \frac{1}{3・9^{i-1}}\)
• \(f_y(i) = f_y(i-1)\)

こちらの漸化式を解くと \(\displaystyle f_x(i) = \frac{2}{3}\left(1 - \frac{1}{3^i}\right), ~f_y(i) = 0\) になります。