公式解説の \(1\) つ目と同様，二つの漸化式が成り立ちます．

\[ f(n+3,m)= s\cdot f(n+2,m)-t\cdot f(n+1,m)+u\cdot f(n,m) \tag{1}\]

\[ f(n,m+3)= s\cdot f(n,m+2)-t\cdot f(n,m+1)+u\cdot f(n,m) \tag{2}\]

これは \(\alpha,\beta,\gamma\) が \(x^3=sx^2-tx+u\) の解であることより従います．

\(f(i,j)\ (0\leq i\leq 2,0\leq j\leq 2)\) の値が分かるので，式 \((1)\) を用いて \(f(n,0),f(n,1),f(n,2)\) を求めれば，式 \((2)\) を用いて \(f(n,m)\) を求めることができます．

\[ \begin{pmatrix} f(n,i) \\ f(n-1,i)\\ f(n-2,i) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} s & -t & u \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{n-2} \begin{pmatrix} f(2,i) \\ f(1,i)\\ f(0,i) \end{pmatrix}\ \ (i=0,1,2)\]

\[ \begin{pmatrix} f(n,m) \\ f(n,m-1)\\ f(n,m-2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} s & -t & u \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{m-2} \begin{pmatrix} f(n,2) \\ f(n,1)\\ f(n,0) \end{pmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]