以下はCyanmondさんの解説を読んでいる前提の内容です。

• 辺を選択し、重みを変更する
• 2 頂点を選択し、その間の辺の重みの総和を求める

は オイラーツアー + Binary Indexed Tree (or segtree) で処理できます。
よって、\(O((N+Q)\log N)\) でこの問題を解くことができます。