G - Round Nim Editorial /

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問題文

石の山が N 個あり、i 番目 (1\le i\le N) の山には A_i 個の石があります。

Alice と Bob がこれらの山を使って以下のようなゲームを行います。

  • Alice から始めて両者は交互に手番をプレイする。
  • 各手番では、プレイヤーは i=1,2,\ldots,N の順に山 i から石を 1 個以上 B_i 個以下取り除く。

先に手番をプレイできなくなったプレイヤーの負けです。

両者が最善を尽くしたとき、どちらのプレイヤーが勝つかを求めてください。

T 個のテストケースが与えられるので、それぞれについて答えを求めてください。

制約

  • 1\le T\le 2\times 10^5
  • 1\le N\le 2\times 10^5
  • 0\le A_i\le 10^9
  • 1\le B_i\le 10^9
  • 全てのテストケースにおける N の総和は 2\times 10^5 以下
  • 入力される値は全て整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

T
\text{case}_1
\text{case}_2
\vdots
\text{case}_T

各テストケースは以下の形式で与えられる。

N
A_1 B_1
A_2 B_2
\vdots
A_N B_N

出力

各テストケースに対する答えを順に改行区切りで出力せよ。

各テストケースについて、両者が最善を尽くしたとき Alice が勝つならば Alice を、Bob が勝つならば Bob を出力せよ。


入力例 1

3
3
4 2
4 1
5 3
3
0 10
1 10
2 10
5
1 4
3 24
10 37
3 17
1 13

出力例 1

Alice
Bob
Alice

1 番目のテストケースについて考えます。

例えばゲームは以下のように進行します:

  • Alice の手番:1,2,3 番目の山からそれぞれ石を 1,1,1 個取り除く。石の個数はそれぞれ 3,3,4 個となる。
  • Bob の手番:1,2,3 番目の山からそれぞれ石を 1,1,3 個取り除く。石の個数はそれぞれ 2,2,1 個となる。
  • Alice の手番:1,2,3 番目の山からそれぞれ石を 1,1,1 個取り除く。石の個数はそれぞれ 1,1,0 個となる。
  • Bob は手番をプレイできないので、Alice の勝利である。

Bob がどのように行動しても Alice が適切に行動することで Alice が必ず勝利することができます。