問題文の定式化

以降、 \(\phi_i = \theta_{i+1}-\theta_{i}\) (\(i=1,\dots,N-1\)) として議論を進めます。 \(N\)角形 \(P_1 P_2 \dots P_N\) の面積は \(N-1\)個の三角形 \(P_iOP_{i+1}\) (\(i=1,\dots,N-1\)) の面積の総和から三角形 \(P_1 OP_{N}\) の面積を引いた物になります。従って、この問題は以下の様に定式化されます。

\( \begin{aligned} & \underset{} {\text{maximize}} &&-\frac{1}{2}R_{1}R_{N}\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)+\sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{2}R_{i}R_{i+1}\sin(\phi_i)\\ &\text{subject to} && \frac{\pi}{2N}\leq \phi_i &&& (i=1,\dots,N-1) \\ &&& \sum_{i=1}^{N-1}\phi_i =\frac{2}{3}\pi &&& \end{aligned} \)

直感的な説明

直感的には、 \(\phi_i\) を微小量増加させた際の増分が大きい順に \(\phi_i\) を増やしていくのが最適になりそうだと予測をたてられます。またこの事は、 \(\phi_i \neq \frac{\pi}{2N}\) を満たす \(\phi_i\) に関してはこれを微小量増分させた際の増分がそれぞれ一致するとも言い換えられます。

解法

以降、 \(\displaystyle S_i(\phi_i) = \frac{1}{2}R_iR_{i+1}\sin(\phi_i)\) \((i=1,\dots,N-1)\) として議論を進めます。

結論として、面積が最大となる時の \(\phi_i\) (\(i=1,\dots,N-1\)) の値はある実数 \(C\) を用いて以下の様に表せます。

\( \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d}\phi_i}&= \min\left(\left.\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right|_{\phi_i=\frac{\pi}{2N}},C\right) \end{aligned} \)

ここで、

\( \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d}\phi_i}&=\frac{1}{2}R_{i}R_{i+1}\cos(\phi_i) \end{aligned} \)

であるため、 \(\phi_{i}\) は 実数 \(C\) を用いて

\( \begin{aligned} \phi_i = \arccos\left( \min\left(\cos\left(\frac{\pi}{2N}\right),\frac{2}{R_{i}R_{i+1}} C\right)\right) \end{aligned} \)

と表せます。そのため、条件を満たす様な領域において、 \(\arccos(x)\) が \(x\) に対し単調減少である事を踏まえると、

\( \begin{aligned} \sum_{i=0}^{N-1}\phi_i=\frac{2}{3}\pi \end{aligned} \)

を満たす \(C\) を二分探索によって求めれば、面積の最大値が求まり、これが答えとなります。

正当性の証明

以下の補題が成り立ちます。

面積が最大となる\(\phi_i\) (\(1\leq i \leq N-1\)) の組に対し、\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}} < \frac{\mathrm{d}S_j}{\mathrm{d \phi_j}}\) , \(\displaystyle \frac{\pi}{2N}<\phi_i\) を満たす \(i\) , \(j\) が存在しない

証明

面積が最大になるとは限らないが制約条件を満たす \(\phi_i\) (\(1\leq i \leq N-1\)) の組に対して、 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}} < \frac{\mathrm{d}S_j}{\mathrm{d \phi_j}}\) , \(\displaystyle \frac{\pi}{2N}<\phi_i\) を満たす \(i\) , \(j\) が存在するとします。この時、微分の定義より十分小さい \(\Delta\phi\) に対し、 \(\phi_i\) , \(\phi_j\) をそれぞれ \(\phi_i-\Delta \phi\) , \(\phi_j+\Delta \phi\) に取り換える事で面積は増大するため、面積は最大とならない事が分かります。よって対偶により示されました。

面積が最大となるような \(\phi_i\) (\(1\leq i \leq N-1\)) について、実数 \(C\) を、 \(\displaystyle C = \max_{0\leq i \leq N-1} \left(\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right)\) と定義します。すると、補題により \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\) の取りうる値は \(C\) または \(\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right|_{\phi_i=\frac{\pi}{2N}}\) のどちらかであるとわかりますが、

• \(\displaystyle C < \left.\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right|_{\phi_i=\frac{\pi}{2N}}\) の時

  • \(C\) の定義より \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}=C\)

• \(\displaystyle C > \left.\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right|_{\phi_i=\frac{\pi}{2N}}\) の時

  • \(C\) は \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\) の値域に含まれないため、 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}=\left.\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right|_{\phi_i=\frac{\pi}{2N}}\)

が成り立ちます。よって、面積が最大値となるような \(\phi_i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)) に対し、

\( \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}&= \min\left(\left.\frac{\mathrm{d}S_i}{\mathrm{d \phi_i}}\right|_{\phi_i=\frac{\pi}{2N}},C\right) \end{aligned} \)

が成り立つ事が分かりました。