概要

各エリアに指定された脚数の椅子を運び終えるために必要な作業回数の合計を求め、高橋君のチームがこなせる作業回数の上限を超える分だけ、青木君に応援を要請する必要がある。その最小回数を求める問題。

考察

この問題では、各エリア \(i\) について、必要な作業回数が \(\lceil A_i / K \rceil\) 回と定義されています。これは「天井関数（切り上げ）」と呼ばれるもので、Python では math.ceil() を使って計算できます。

例えば、あるエリアに 10 脚の椅子を運び、1 回の作業で最大 3 脚運べるとすると： $\( \lceil 10 / 3 \rceil = \lceil 3.33... \rceil = 4 \)$ つまり 4 回の作業が必要になります。

すべてのエリアについてこの値を合計することで、全エリアの椅子を運び終えるのに必要な 総作業回数 が求められます。

もし、この総作業回数が高橋君のチームがこなせる上限 \(M\) 以下であれば、応援は必要ありません（答えは 0）。

しかし、もし総作業回数が \(M\) を超えていれば、不足分だけ青木君に作業をお願いすることになります。具体的には： $\( \text{応援要請回数} = \max(0,\ \text{総作業回数} - M) \)$

この問題は、各エリアごとに必要な作業回数を独立に求めることができ、かつそれらを単純に足し合わせるだけで答えが出せるので、非常にシンプルに解くことができます。

素朴なアプローチとして、例えば実際にシミュレーションして作業を割り当てていく方法が考えられますが、制約が非常に大きい（\(N\) が最大 \(10^6\)、\(A_i\) や \(M\) が最大 \(10^{18}\)）ため、シミュレーションでは時間的に間に合いません。また、最適な割り当てを考える必要もなく、単に必要な作業回数の合計と上限との差を取るだけでよいのです。

アルゴリズム

1. 各エリア \(i\) に対して、\(\lceil A_i / K \rceil\) を求め、それらをすべて足し合わせて「必要な総作業回数」を得る。
2. この値が \(M\) 以下であれば 0 を出力。
3. そうでなければ、差分 \((\text{総作業回数} - M)\) を出力。

計算量

• 時間計算量: \(O(N)\)
  （各要素に対して一度だけ処理を行うため）
• 空間計算量: \(O(1)\)（入力を除く）または \(O(N)\)（入力配列を保持する場合）

実装のポイント

• 天井関数を使うときは、Python の math.ceil() を使用する。

• 整数同士の割り算で切り上げを行う場合は、(a + k - 1) // k というテクニックもあるが、今回は直接 ceil を使った方が自然。

• 入力が非常に大きいため、高速な入力方法（sys.stdin.read）を使用している。

• 最終的な答えが負にならないよう、max(0, ...) のような形にするか、条件分岐で処理する。

  ソースコード

import math

def main():
    import sys
    input = sys.stdin.read
    data = input().split()
    
    N = int(data[0])
    M = int(data[1])
    K = int(data[2])
    A = list(map(int, data[3:3+N]))
    
    # 各エリアの必要作業回数の合計を計算
    total_required = sum(math.ceil(a / K) for a in A)
    
    # 応援要請の最小回数を計算
    if total_required <= M:
        print(0)
    else:
        print(total_required - M)

if __name__ == "__main__":
    main()

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