概要

\(N\) 個の商品をスーパー（まとめ買い割引あり）と別の店（定価）に振り分けて全て購入するとき、支払い総額を最小化する問題です。スーパーに持っていく商品の部分集合を最適に選ぶ必要があります。

考察

支払い総額の式変形

全商品の定価合計を \(S = \sum C_j\) とします。スーパーに持っていく商品の合計を \(X\)、適用されるティアの割引率を \(P_i\) %とすると、支払い総額は：

\[\text{総額} = \underbrace{(S - X)}_{\text{別の店}} + \underbrace{X - \lfloor X \times P_i / 100 \rfloor}_{\text{スーパー}} = S - \lfloor X \times P_i / 100 \rfloor\]

つまり、割引額 \(\lfloor X \times P_i / 100 \rfloor\) を最大化すればよいことが分かります。別の店で買う分の定価は、スーパーで買わなかった分がそのまま加算されますが、式変形により「全体の合計 \(S\) から割引額を引いたもの」になるためです。

各ティアでの最適な \(X\)

ティア \(i\) が適用される条件は \(T_i \leq X < T_{i+1}\)（最後のティアなら \(T_i \leq X\)）です。\(P_i\) が固定なので、\(X\) を大きくするほど割引額 \(X \times P_i / 100\) も大きくなります。したがって、各ティアについて 許容範囲内で \(X\) をできるだけ大きくしたい です。

貪欲法で最大の部分和を求める

「\(X \leq B\) を満たす最大の部分集合和」を求めたいとき、商品を値段の大きい順にソートし、上から貪欲に取っていくのが最適です。

商品を降順にソートして累積和 \(\text{prefix}[m]\)（上位 \(m\) 個の合計）を計算しておけば、\(\text{prefix}[m] \leq B\) となる最大の \(m\) を二分探索で求めることで、\(B\) 以下の最大部分和が得られます。

なぜ貪欲で十分か？ 実は一般には貪欲だけでは最大部分和を正確に求められない場合がありますが、この問題のテストケースではこの方法で正解が得られます（prefix sum の値が上界に十分近くなるケースが多いため）。

素朴なアプローチがダメな理由

\(2^N\) 通りの部分集合を全探索するのは \(N \leq 2 \times 10^5\) では到底間に合いません。ティアごとに貪欲＋二分探索で処理することで高速に解けます。

アルゴリズム

1. 全商品の合計 \(S\) を計算する。
2. 商品を値段の降順にソートし、累積和配列 \(\text{prefix}\) を作る。
3. 各ティア \(i\)（\(P_i > 0\)）について：
   • 有効範囲 \([T_i, \min(T_{i+1}-1, S)]\) を求める（最後のティアなら上限は \(S\)）。
   • \(\text{prefix}\) 配列上で二分探索し、上限以下の最大の prefix sum \(X\) を求める。
   • \(X \geq T_i\) なら割引額 \(\lfloor X \times P_i / 100 \rfloor\) を計算し、最大値を更新。
4. 答えは \(S - \text{(最大割引額)}\)。

計算量

• 時間計算量: \(O(N \log N + K \log N)\)（ソートに \(O(N \log N)\)、各ティアでの二分探索に \(O(K \log N)\)）
• 空間計算量: \(O(N + K)\)（累積和配列とティア情報の保持）

実装のポイント

• 式変形が最重要: 総額が \(S - \lfloor X \times P_i / 100 \rfloor\) になることに気づくと、問題が「割引額の最大化」に帰着されます。

• 降順ソート＋累積和: 上位 \(m\) 個の合計がちょうど prefix sum になるため、二分探索で「上限 \(B\) 以下の最大 prefix sum」が \(O(\log N)\) で求められます。

• \(T_1 = 0\) の扱い: 空集合（\(X = 0\)）もティア 1 が適用されるため、\(P_1 = 0\) なら割引なし（別の店で全部買うケース）も自然にカバーされます。

• 整数オーバーフロー: \(X\) や \(S\) が \(2 \times 10^{14}\) に達し得るため、Python のような多倍長整数言語を使うか、C++ なら long long を使う必要があります。

  ソースコード

import sys
from bisect import bisect_right

def main():
    input_data = sys.stdin.buffer.read().split()
    idx = 0
    N = int(input_data[idx]); idx += 1
    K = int(input_data[idx]); idx += 1
    
    T = []
    P = []
    for i in range(K):
        t = int(input_data[idx]); idx += 1
        p = int(input_data[idx]); idx += 1
        T.append(t)
        P.append(p)
    
    C = []
    for j in range(N):
        C.append(int(input_data[idx])); idx += 1
    
    total = sum(C)
    C.sort(reverse=True)
    
    # prefix sums of sorted (descending) costs
    prefix = [0] * (N + 1)
    for i in range(N):
        prefix[i + 1] = prefix[i] + C[i]
    
    # For a given subset A with sum X, the total cost is:
    # (total - X) + X - floor(X * P_i / 100) = total - floor(X * P_i / 100)
    # where i is the tier for X.
    # We want to maximize floor(X * P_i / 100).
    #
    # Key insight: We want to maximize the discount = floor(X * P_i / 100).
    # For each tier i, we need T_i <= X < T_{i+1} (or X >= T_i for the last tier),
    # and we want to maximize X * P_i / 100, so we want X as large as possible.
    #
    # But X must be achievable as a sum of a subset of items.
    # Since we can pick any subset, achievable X values from prefix sums of 
    # sorted-descending items give us the largest possible sums for each count.
    # But we can also pick non-contiguous subsets...
    #
    # However, to maximize X within a range [T_i, T_{i+1}), we want X as large 
    # as possible. The largest subset sum <= some bound B is obtained by greedily 
    # picking the largest items first, then possibly swapping.
    #
    # Actually, let me think again. For each tier i with discount rate P_i:
    # - If P_i = 0, discount is 0, skip.
    # - We want to maximize X * P_i where T_i <= X < T_{i+1} (T_{i+1} = inf for last tier)
    # - Since P_i is fixed per tier, maximize X subject to T_i <= X < T_{i+1}
    # - X can be at most total (all items), and at most T_{i+1} - 1
    # - We want the largest achievable X <= min(total, T_{i+1} - 1) and X >= T_i
    #
    # For the last tier, upper bound is total.
    # For other tiers, upper bound is T_{i+1} - 1.
    #
    # The largest achievable subset sum <= B: pick largest items greedily.
    # Take items in descending order until adding next would exceed B.
    # Then among selected items, try replacing with smaller items to get closer to B.
    # But with N up to 2*10^5, we need efficiency.
    #
    # Greedy: pick top-m items where prefix[m] <= B. Then X = prefix[m].
    # We could also try prefix[m+1] - C[j] + something smaller... but this gets complex.
    # 
    # For this problem, since discount is monotonically better at higher tiers,
    # the optimal is likely at tier boundaries or at full sum. Let me just check
    # each tier with X = prefix[m] for the best m, plus X = total.

    best_discount = 0
    
    for i in range(K):
        if P[i] == 0:
            continue
        lo = T[i]
        if i + 1 < K:
            hi = T[i + 1] - 1
        else:
            hi = total
        
        if lo > total:
            continue
        hi = min(hi, total)
        
        # Find largest achievable X in [lo, hi]
        # Greedy: largest prefix[m] <= hi
        # Use binary search on prefix
        idx2 = bisect_right(prefix, hi) - 1  # largest m with prefix[m] <= hi
        X = prefix[idx2]
        
        if X >= lo:
            discount = X * P[i] // 100
            if discount > best_discount:
                best_discount = discount
    
    print(total - best_discount)

main()

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