概要

高橋君が「全力ダッシュ」を最適なタイミングで合計 \(K\) 秒間使い、駅（座標 \(G\)）に到着する最短時間が、終電が駅に到着する時間以下であるかを判定する問題です。

考察

この問題を解くためには、「終電が駅に到着する時間」と「高橋君が駅に到着する最短時間」をそれぞれ求め、比較する必要があります。

1. 終電が駅に到着する時間 \(T_M\)

終電は現在座標 \(M\) にあり、毎秒 \(V\) の速度で座標 \(G\) に向かっています。 終電が駅に到着するまでの距離は \(M - G\) なので、到着時間は以下のようになります。 $\(T_M = \frac{M - G}{V}\)$

2. 高橋君が駅に到着する最短時間 \(T_T\)

高橋君は全力ダッシュ（速度 \(D\)）を最大 \(K\) 秒間使えます。それ以外の時間は通常速度（速度 \(1\)）で移動します。 時間を最短にするには、できるだけ「速度が速い状態」で距離を稼ぐのが最善です。つまり、全力ダッシュを可能な限り（最大 \(K\) 秒間）使うのが最適です。

ここで、全力ダッシュで進める距離 \(K \times D\) が、駅までの距離 \(G\) より大きいかどうかで場合分けが発生します。

• ケースA：\(K \times D \ge G\) のとき ダッシュだけで駅に到達できます。最短時間 \(T_T\) は、距離 \(G\) を速度 \(D\) で割った値です。 $\(T_T = \frac{G}{D}\)$

• ケースB：\(K \times D < G\) のとき \(K\) 秒間フルでダッシュしても駅に届かないため、残りの距離を通常速度で歩く必要があります。 ダッシュで進む距離は \(K \times D\)、残りの歩く距離は \(G - (K \times D)\) です。 $\(T_T = K + \frac{G - (K \times D)}{1} = G - K(D - 1)\)$

3. 判定式の変形（浮動小数点数誤差の回避）

条件 \(T_T \le T_M\) をそのまま計算すると、割り算によって小数の誤差が生じる可能性があります。競技プログラミングでは、分母を払って整数のみの比較に直すのが鉄則です。

• ケースAの判定式： \(\frac{G}{D} \le \frac{M - G}{V} \iff G \times V \le (M - G) \times D\)
• ケースBの判定式： \(G - K(D - 1) \le \frac{M - G}{V} \iff (G - K(D - 1)) \times V \le M - G\)

アルゴリズム

1. 入力値 \(G, M, D, K, V\) を受け取る。
2. \(K \times D\) と \(G\) を比較して、高橋君が駅に着くまでの移動パターンを判定する。
3. 上記の考察に基づき、整数範囲での比較演算を行い、条件を満たせば Yes、そうでなければ No を出力する。

計算量

• 時間計算量: \(O(1)\)
  • 単純な四則演算と条件分岐のみで計算可能です。
• 空間計算量: \(O(1)\)
  • 入力値を保持する変数以外のメモリは使用しません。

実装のポイント

• 大きな数への対応: \(M\) が最大 \(10^{15}\) と非常に大きいため、Pythonなどの多倍長整数を扱える言語以外では、64bit整数型（C++なら long long）を使用する必要があります。

• 誤差の回避: 考察で述べた通り、割り算（/）を避け、掛け算（*）を用いた比較を行うことで、浮動小数点数による誤差を完全に防ぐことができます。

  ソースコード

import sys

def solve():
    # 標準入力から全ての値を読み込む
    input_data = sys.stdin.read().split()
    if not input_data:
        return
    
    # 各変数を整数として取得
    # G: 駅の座標
    # M: 終電の初期座標
    # D: 全力ダッシュ時の速度倍率
    # K: 全力ダッシュ可能時間（秒）
    # V: 終電の速度
    G = int(input_data[0])
    M = int(input_data[1])
    D = int(input_data[2])
    K = int(input_data[3])
    V = int(input_data[4])
    
    # 高橋君は座標0からGへ、終電は座標MからG（およびその先）へ向かう。
    # 終電が駅(座標G)に到着する時間を T_M とすると、 T_M = (M - G) / V。
    # 高橋君が駅(座標G)に到着する最短時間を T_T とすると、
    # 高橋君が終電に間に合う条件は T_T <= T_M である。
    # この条件式は、分母を払って V * T_T <= M - G と書き換えられる。
    
    # 高橋君の最短時間 T_T を求める：
    # 全力ダッシュを t 秒使うとすると、進む距離は t*D + (T_T - t)*1 = G。
    # これを変形すると T_T = G - t*(D - 1) となる。
    # T_T を最小化するには、ダッシュ時間 t を最大化すればよい。
    # ただし、制約として t <= K かつ t*D <= G （駅を通り過ぎない範囲でダッシュする）がある。
    # つまり、最適なダッシュ時間 t は min(K, G / D) である。
    
    if K * D >= G:
        # 全力ダッシュを t = G / D 秒使うことで、最短時間 T_T = G / D で駅に到達できる。
        # 判定式: V * (G / D) <= M - G  =>  V * G <= (M - G) * D
        if V * G <= (M - G) * D:
            print("Yes")
        else:
            print("No")
    else:
        # 全力ダッシュ可能時間を全て使い切り、残りの距離を通常速度で移動する。
        # t = K, T_T = G - K * (D - 1)
        # 判定式: V * (G - K * (D - 1)) <= M - G
        if V * (G - K * (D - 1)) <= M - G:
            print("Yes")
        else:
            print("No")

if __name__ == '__main__':
    solve()

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