\(N = 1\) のとき、答えは \(\lbrace 1 \rbrace\) です。以降 \(N \ge 2\) とします。

\(S\) に \(1\) を入れてしまうと、\(k \ge 2\) に対して \(1 \bmod k = 1\) となってしまうため、それ以外の要素を \(S\) に入れることが出来なくなります。また、\(|S| = 1\) となる良い集合はほかにも存在します。よって、\(1\) は \(S\) に入れないものとしてもよいです。

また、\(k \ge 2\) に対して \(k+1 \bmod k = 1\) であるため、連続する \(2\) 整数を共に \(S\) に入れることも出来ません。この条件を守るためには、\(|S| \le \lfloor \frac{N}{2} \rfloor\) である必要があります。ここで、\(S\) を \(1\) 以上 \(N\) 以下の全ての偶数からなる集合とすると \(|S| = \lfloor \frac{N}{2} \rfloor\) かつ \(S\) は良い集合となります。これが構築の一例です。

おまけ：上記のまま議論を進めると、\(N \ge 6\) について答えは上記の構築例しかないことも分かります。よって、ジャッジを \(\mathrm{O}(N)\) で行えます。