必要十分条件

\(N=R+B\) とし、各 \(i\) \((1\leq i\leq N)\) について \(i\) 番目の駒が置かれるマスを \((r_i,c_i)\) とします。また、\((r_{N+1},c_{N+1}) = (r_1,c_1)\) とします。このとき、\(i\) 番目に置く駒が赤色なら \((r_i+c_i)\) と \((r_{i+1}+c_{i+1})\) の偶奇は異なり、青色なら偶奇は同じです。\((r_{N+1},c_{N+1}) = (r_1,c_1)\) なので、以下の必要条件が得られます。

• \(R\) は偶数

さらに、\(R = 0\) の場合、\(r_i\) と \(r_{i+1}\) の偶奇が異なることから、以下の必要条件が得られます。

• \(R = 0\) ならば、\(B\) は偶数

上記の \(2\) つの必要条件が満たされていれば、実際に条件を満たす \(N\) 個の駒の置き方が存在します。

構成方法

ここでは、いくつかの \((R,B)\) に対する条件を満たす駒の置き方の例を示します。同様の置き方を他の \((R,B)\) に適用することができます。

\(R=0\) の場合

例：\((R,B) = (0,8)\)

...B.
..B.B
.B.B.
B.B..
.B...

\(R\geq 1\) かつ \(B\) が奇数の場合

例：\((R,B) = (8, 5)\)

.....BR
....BB.
RRRRB..
RRRB...

\(R\geq 1\) かつ \(B\) が偶数の場合

例：\((R,B) = (8, 6)\)

......B
.....BR
....BB.
RRRRB..
RRRB...