E - Rearrange and Adjacent XOR

Contest Duration: 2024-03-10(Sun) 12:00 - 2024-03-10(Sun) 14:00 (local time) (120 minutes) Back to Home

E - Rearrange and Adjacent XOR Editorial

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : $800$ 点

問題文

長さ $N$ の非負整数列 $A=(A_1,A_2,\dots,A_N)$ が与えられます。この整数列に対して以下の操作を $N-1$ 回行って長さ $1$ の整数列を得ることを考えます。

$n$ を $A$ の長さとする。はじめに $A$ 内の要素を好きなように並び替える。その後、 $A$ を長さ $n-1$ の非負整数列 $(A_1 \oplus A_2, A_2 \oplus A_3, \dots, A_{n-1} \oplus A_n)$ に置き換える

ただしここで、 $\oplus$ はビット単位 $\mathrm{XOR}$ 演算を表します。

$N-1$ 回の操作後に得られる長さ $1$ の整数列が含む項の値を $X$ としたとき、 $X$ として考えられる値の最大値を求めてください。

ビット単位 $\mathrm{XOR}$ 演算とは

非負整数 $A, B$ のビット単位 $\mathrm{XOR}$ 、 $A \oplus B$ は、以下のように定義されます。

$A \oplus B$ を二進表記した際の $2^k$ ( $k \geq 0$ ) の位の数は、 $A, B$ を二進表記した際の $2^k$ の位の数のうち一方のみが $1$ であれば $1$ 、そうでなければ $0$ である。

例えば、 $3 \oplus 5 = 6$ となります (二進表記すると: $011 \oplus 101 = 110$ )。
一般に $k$ 個の非負整数 $p_1, p_2, p_3, \dots, p_k$ のビット単位 $\mathrm{XOR}$ は $(\dots ((p_1 \oplus p_2) \oplus p_3) \oplus \dots \oplus p_k)$ と定義され、これは $p_1, p_2, p_3, \dots, p_k$ の順番によらないことが証明できます。

制約

$2 \leq N \leq 100$
$0 \leq A_i < 2^{60}$
入力される値はすべて整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

 $N$ 
 $A_1$   $A_2$   $\dots$   $A_N$

出力

答えを出力せよ。

入力例 1Copy

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4
1 2 3 4

出力例 1Copy

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以下のような $3$ 回の操作により $A$ を $A=(7)$ とできます。

$1$ 回目の操作にて、 $A=(1,2,3,4)$ を $(3,1,4,2)$ と並び替える。 $A$ は $(3 \oplus 1, 1 \oplus 4, 4 \oplus 2) = (2,5,6)$ に置き換わる。
$2$ 回目の操作にて、 $A=(2,5,6)$ を $(2,6,5)$ と並び替える。 $A$ は $(2 \oplus 6, 6 \oplus 5) = (4,3)$ に置き換わる。
$3$ 回目の操作にて、 $A=(4,3)$ を $(4,3)$ と並び替える。 $A$ は $(4 \oplus 3) = (7)$ に置き換わる。

入力例 2Copy

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13
451745518671773958 43800508384422957 153019271028231120 577708532586013562 133532134450358663 619750463276496276 615201966367277237 943395749975730789 813856754125382728 705285621476908966 912241698686715427 951219919930656543 124032597374298654

出力例 2Copy

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1152905479775702586

Score: $800$ points

Problem Statement

You are given a sequence of $N$ non-negative integers $A=(A_1,A_2,\dots,A_N)$ . Consider performing the following operation $N-1$ times on this sequence to obtain a sequence of length $1$ :

Let $n$ be the length of $A$ . First, rearrange the elements in $A$ in any order you like. Then, replace $A$ with a sequence of $n-1$ non-negative integers $(A_1 \oplus A_2, A_2 \oplus A_3, \dots, A_{n-1} \oplus A_n)$ .

Here, $\oplus$ represents the bitwise $\mathrm{XOR}$ operation.

Let $X$ be the value of the term contained in the sequence of length $1$ obtained after $N-1$ operations. Find the maximum possible value of $X$ .

What is the bitwise $\mathrm{XOR}$ operation?

The bitwise $\mathrm{XOR}$ of two non-negative integers $A$ and $B$ , denoted as $A \oplus B$ , is defined as follows:

In the binary representation of $A \oplus B$ , the digit at the $2^k$ ( $k \geq 0$ ) position is $1$ if the digit at the $2^k$ position is $1$ in $A$ or $B$ but not both, and $0$ otherwise.

For example, $3 \oplus 5 = 6$ (in binary: $011 \oplus 101 = 110$ ).
In general, the bitwise $\mathrm{XOR}$ of $k$ non-negative integers $p_1, p_2, p_3, \dots, p_k$ is defined as $(\dots ((p_1 \oplus p_2) \oplus p_3) \oplus \dots \oplus p_k)$ , and it can be proved that this does not depend on the order of $p_1, p_2, p_3, \dots, p_k$ .

Constraints

$2 \leq N \leq 100$
$0 \leq A_i < 2^{60}$
All input values are integers.

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

 $N$ 
 $A_1$   $A_2$   $\dots$   $A_N$

Output

Print the answer.

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4
1 2 3 4

Sample Output 1Copy

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The sequence $A$ can be transformed into $A=(7)$ by the following three operations:

In the first operation, rearrange $A=(1,2,3,4)$ to $(3,1,4,2)$ . $A$ is replaced with $(3 \oplus 1, 1 \oplus 4, 4 \oplus 2) = (2,5,6)$ .
In the second operation, rearrange $A=(2,5,6)$ to $(2,6,5)$ . $A$ is replaced with $(2 \oplus 6, 6 \oplus 5) = (4,3)$ .
In the third operation, rearrange $A=(4,3)$ to $(4,3)$ . $A$ is replaced with $(4 \oplus 3) = (7)$ .

Sample Input 2Copy

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13
451745518671773958 43800508384422957 153019271028231120 577708532586013562 133532134450358663 619750463276496276 615201966367277237 943395749975730789 813856754125382728 705285621476908966 912241698686715427 951219919930656543 124032597374298654

Sample Output 2Copy

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