ヒント → https://atcoder.jp/contests/arc158/editorial/5901

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[1] 問題の変形

本問では，\(x_1,x_2,x_3\) の値そのものではなく，それらの差だけが重要です．したがって，好きなタイミングで次を行うことを許容しても，問題の答えは変わりません．

\(c\) を定数として，\(x_1, x_2, x_3\) に \(c\) を加える．

特に，\((+3, +5, +7)\) 操作を行うたびに全体に \(c\) を加えるというようにしても，問題の答えは変わりません．

例えば \(c=-1\) とすれば，\((+3, +5, +7)\) 操作の代わりに \((+2,+4,+6)\) 操作の場合の問題を考えてもよいことが分かりますし，\(c=-3\) とすれば \((+0,+2,+4)\) 操作の場合の問題を考えてもよいことが分かります．

ここでは \(c=-5\) として \((-2, 0, +2)\) 操作の場合の問題を考えることとします．つまり，操作は次のようになります：

ひとつの数に \(-2\)，ひとつの数に \(+2\) を加える．

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[2] \(x_1=x_2=x_3\) とできるための必要条件

\((-2, 0, +2)\) 操作の場合，\(x_1+x_2+x_3\) は不変です．したがって，\(x_1=x_2=x_3\) が達成できるためには \(x_1+x_2+x_3\) が \(3\) の倍数であることが必要です．

これが成り立つとし，\(a = \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\) とすると，各 \(x_i\) から \(\pm 2\) 操作で \(a\) を作ることが必要なので，\(x_i\) と \(a\) の偶奇が等しいことが必要です．

よって，次の必要条件が得られます：

\(a = \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\) は整数で，\(a,x_1,x_2,x_3\) の偶奇は等しい．

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[3] 条件の十分性，最小操作回数

[2] の必要条件を仮定し，\(d = |x_1-a| + |x_2-a| + |x_3-a|\) とします．次のことが確かめられます：

• [A] \(1\) 回の操作で，\(d\) は高々 \(4\) しか変化しない．
• [B] \(d\neq 0\) ならば，必ず \(d\) を \(4\) 減少させることができる．

[A] は，\(x_i\) が \(\pm 2\) のどちらかの変化をするとき \(|x_i - a|\) が \(2\) より多く減ることはないことから分かります．

[B] は，\(d\neq 0\) のとき \(x_i < a\), \(x_j>a\) となる \(i, j\) が存在し，\(x_i\) に \(+2\) 操作，\(x_j\) に \(-2\) 操作を行うことを考えることで証明できます（\(x_i\) と \(a\) の偶奇が等しいことから，\(x_i\neq a\) ならば \(|x_i-a|\geq 2\) であることに注意してください）．

[2] の必要条件のもと，[B] より，\(\dfrac{d}{4}\) 回で目標を達成することが可能です．また [A] よりこれが最小回数であることが分かります．

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以上を適切に実装すれば，本問題はテストケースごとに \(O(1)\) 時間で解くことができます．