Chinerist さんの公式解説 の[1]のパートは、\(\text{mod } 2\) のときの Lucas の定理を経由して示すこともできるので軽く説明します。

\(\text{mod } 2\) のときの Lucas の定理は、\(\binom{n}{k}\) が奇数であるとき、またそのときに限り \(n \& k=k\) が成立しているという定理です。

今回考える \(X\) の中に出現する \(i\) の個数を \(C_i\)とすると、多項係数 \(\binom{K}{C_1,C_2,\ldots,C_N}\) が奇数になるのはどのようなときかが分かればよいです。

ここで、\(\binom{K}{C_1,C_2,\ldots,C_N}\) が奇数であるとき、またそのときに限り全ての \(j\) について以下が成立することがわかります。

• \(K\) の \(j\) ビット目が \(0\) のとき、任意の \(i\) について \(C_i\) の \(j\) ビット目は \(0\) である。

• \(K\) の \(j\) ビット目が \(1\) のとき、唯一の \(i\) について \(C_i\) の \(j\) ビット目は \(1\) であり、残りの \(C\) の \(j\) ビット目は \(0\) である。

この事実は、多項係数を展開することを考えると、先述の Lucas の定理を用いて証明できます。