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配点 : 700 点
問題文
長さ 2^N の整数列 A = (A_0, A_1, \ldots, A_{2^N-1}) が与えられます。
また、Q 個のクエリが与えられます。 i = 1, 2, \ldots, Q について、i 番目のクエリでは 2 つの整数 X_i, Y_i が与えられ、下記の操作を行います。
j = 0, 1, 2, \ldots, 2^N-1 の順に下記の手順を行う。
まず、j の N 桁の 2 進数表現を b_{N-1}b_{N-2}\ldots b_0 とおく。また、b_{N-1}b_{N-2}\ldots b_0 から b_{X_i} を反転（ 0 ならば 1 に、1 ならば 0 に変更）させて得られる 2 進数表現によって表される整数を j' とおく。
そして、b_{X_i} = Y_i ならば、A_{j'} に A_j の値を加算する。
すべてのクエリを入力で与えられる順番に実行した後の A の各要素を 998244353 で割ったあまりを出力してください。
N 桁の 2 進数表現とは？
非負整数 X (0 \leq X < 2^N) の N 桁の 2 進数表現とは、0 と 1 のみからなり下記の条件を満たす唯一の、長さ N の列 b_{N-1}b_{N-2}\ldots b_0です。
- \sum_{i = 0}^{N-1} b_i \cdot 2^i = X
制約
- 1 \leq N \leq 18
- 1 \leq Q \leq 2 \times 10^5
- 0 \leq A_i \lt 998244353
- 0 \leq X_i \leq N-1
- Y_i \in \lbrace 0, 1\rbrace
- 入力はすべて整数
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N Q
A_0 A_1 \ldots A_{2^N-1}
X_1 Y_1
X_2 Y_2
\vdots
X_Q Y_Q
出力
i = 0, 1, \ldots, 2^N-1 について、すべてのクエリを実行した後の A_i を 998244353 で割ったあまり A'_i を、下記の形式にしたがって空白区切りで出力せよ。
A'_0 A'_1 \ldots A'_{2^N-1}
入力例 1
2 2 0 1 2 3 1 1 0 0
出力例 1
2 6 2 5
1 番目のクエリに対する操作は次の通りです。
- j = 0 のとき、b_1b_0 = 00, j' = 2 です。b_1 \neq 1 であるので、加算の手順は行いません。
- j = 1 のとき、b_1b_0 = 01, j' = 3 です。b_1 \neq 1 であるので、加算の手順は行いません。
- j = 2 のとき、b_1b_0 = 10, j' = 0 です。b_1 = 1 であるので、A_0 に A_2 の値を加算します。その結果、A = (2, 1, 2, 3) となります。
- j = 3 のとき、b_1b_0 = 11, j' = 1 です。b_1 = 1 であるので、A_1 に A_3 の値を加算します。その結果、A = (2, 4, 2, 3) となります。
2 番目のクエリに対する操作は次の通りです。
- j = 0 のとき、b_1b_0 = 00, j' = 1 です。b_0 = 0 であるので、A_1 に A_0 の値を加算します。その結果、A = (2, 6, 2, 3) となります。
- j = 1 のとき、b_1b_0 = 01, j' = 0 です。b_0 \neq 0 であるので、加算の手順は行いません。
- j = 2 のとき、b_1b_0 = 10, j' = 3 です。b_0 = 0 であるので、A_3 に A_2 の値を加算します。その結果、A = (2, 6, 2, 5) となります。
- j = 3 のとき、b_1b_0 = 11, j' = 2 です。b_0 \neq 0 であるので、加算の手順は行いません。
以上より、すべてのクエリを実行した後の A は (2, 6, 2, 5) です。
入力例 2
3 10 606248357 338306877 919152167 981537317 808873985 845549408 680941783 921035119 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 0
出力例 2
246895115 904824001 157201385 744260759 973709546 964549010 61683812 205420980
Score : 700 points
Problem Statement
You are given an integer sequence A = (A_0, A_1, \ldots, A_{2^N-1}) of length 2^N.
Additionally, Q queries are given. For each i = 1, 2, \ldots, Q, the i-th query is represented by two integers X_i and Y_i and asks you to perform the operation below.
For each j = 0, 1, 2, \ldots, 2^N-1 in this order, do the following.
- First, let b_{N-1}b_{N-2}\ldots b_0 be the binary representation of j with N digits. Additionally, let j' be the integer represented by the binary representation b_{N-1}b_{N-2}\ldots b_0 after flipping the bit b_{X_i} (changing 0 to 1 and 1 to 0).
- Then, if b_{X_i} = Y_i, add the value of A_j to A_{j'}.
Print each element of A, modulo 998244353, after processing all the queries in the order they are given in the input.
What is binary representation with N digits?
The binary representation of an non-negative integer X (0 \leq X < 2^N) with N digits is the unique sequence b_{N-1}b_{N-2}\ldots b_0 of length N consisting of 0 and 1 that satisfies:
- \sum_{i = 0}^{N-1} b_i \cdot 2^i = X.
Constraints
- 1 \leq N \leq 18
- 1 \leq Q \leq 2 \times 10^5
- 0 \leq A_i \lt 998244353
- 0 \leq X_i \leq N-1
- Y_i \in \lbrace 0, 1\rbrace
- All values in the input are integers.
Input
The input is given from Standard Input in the following format:
N Q
A_0 A_1 \ldots A_{2^N-1}
X_1 Y_1
X_2 Y_2
\vdots
X_Q Y_Q
Output
For each i = 0, 1, \ldots, 2^N-1, print the remainder A'_i when dividing A_i after processing all the queries by 998244353, separated by spaces, in the following format:
A'_0 A'_1 \ldots A'_{2^N-1}
Sample Input 1
2 2 0 1 2 3 1 1 0 0
Sample Output 1
2 6 2 5
The first query asks you to do the following.
- For j = 0, we have b_1b_0 = 00 and j' = 2. Since b_1 \neq 1, skip the addition.
- For j = 1, we have b_1b_0 = 01 and j' = 3. Since b_1 \neq 1, skip the addition.
- For j = 2, we have b_1b_0 = 10 and j' = 0. Since b_1 = 1, add the value of A_2 to A_0. Now we have A = (2, 1, 2, 3).
- For j = 3, we have b_1b_0 = 11 and j' = 1. Since b_1 = 1, add the value of A_3 to A_1. Now we have A = (2, 4, 2, 3).
The second query asks you to do the following.
- For j = 0, we have b_1b_0 = 00 and j' = 1. Since b_0 = 0, add the value of A_0 to A_1. Now we have A = (2, 6, 2, 3).
- For j = 1, we have b_1b_0 = 01 and j' = 0. Since b_0 \neq 0, skip the addition.
- For j = 2, we have b_1b_0 = 10 and j' = 3. Since b_0 = 0, add the value of A_2 to A_3. Now we have A = (2, 6, 2, 5).
- For j = 3, we have b_1b_0 = 11 and j' = 2. Since b_0 \neq 0, skip the addition.
Thus, A will be (2, 6, 2, 5) after processing all the queries.
Sample Input 2
3 10 606248357 338306877 919152167 981537317 808873985 845549408 680941783 921035119 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 0
Sample Output 2
246895115 904824001 157201385 744260759 973709546 964549010 61683812 205420980