\(1\) 回の操作につき，全体の \(x\) の要素の最大値は高々 \(1\) 増えます． また，\(x\) の隣接項の差分の絶対値の和 (\(=\sum_{1 \leq i \leq N-1} |x_i-x_{i+1}|+|x_N-x_1|\)) は，高々 \(2\) 増えます．

よって，\(M=\max{A_i}\)，\(D=(\sum_{1 \leq i \leq N-1} |A_i-A_{i+1}|+|A_N-A_1|)/2\) とおくと，操作回数の下界は \(\max(M,D)\) になります．

実はこの下界が達成可能です． 以下それを示します．

操作を逆順に見て，\(A\) に対し \(1\) 回操作を行い，\(\max(M,D)\) の値を \(1\) 減らせることを示します．

まず，\(M>D\) のケースを考えます．この時，\(A_i=0\) となるような \(i\) は存在しないことが確認できます（\(0,\cdots,M,\cdots,0\) と一周することを考えると，\(M \leq D\) となるため矛盾します）．よって，\(A\) 全体を \(-1\) するような操作を行えばよいです．

次に，\(M<D\) のケースでは，\(A\) の中で \(M\) が連続する極大な区間を一つ取り，ここを \(-1\) するような操作を考えればよいです．

最後に，\(M=D\) のケースです． \(M < D\) のケースと同様，\(A\) の中で \(M\) が連続する極大な区間を考えます． もしこのような区間が一意ならば，そこを \(-1\) するような操作を行えば，\(M,D\) どちらも値が \(1\) 減ります． そのような区間が複数ある場合を考えます． この時，\(A_i=0\) となるような \(i\) は存在しないことが確認できます（\(0,\cdots,M,\cdots,M\) 未満 \(,\cdots,M,\cdots,0\) と一周することを考えると，\(M<D\) がわかります）． よって，\(M\) をすべて含むような極小な区間，を選んで操作することを考えると，\(M,D\) がどちらも \(1\) 減ることがわかります．

よって示されました． 実装は自明で，計算量は \(O(N)\) です．

解答例(c++)