\(A\) の総和と \(B\) の総和が \(\bmod K\) で異なる場合，明らかに答えは不可能です．以下，それ以外のケースを考えます．

まず最初にすべてのマスに \(K-1\) を書き込んだものと考え，そこから数を減らして条件に合わせるようにします．

各行，各列について，\(\bmod K\) でいくら数を減らす必要があるかがわかります．これをそれぞれ \(C_i,D_i\) とおくことにします．

\(Z=\max(\sum_{1 \leq i \leq H} C_i, \sum_{1 \leq i \leq W} D_i)\) とすると，少なくとも \(Z\) の分だけは数を減らす必要があります．

逆にちょうど \(Z\) だけ減らすような解が存在することを示すことができます． よって答えは \(HW(K-1)-Z\) になります． 以下，ちょうど \(Z\) だけ減らす解が存在することを示します．

\(\sum_{1 \leq i \leq H} C_i \equiv \sum_{1 \leq i \leq W} D_i \bmod K\) であることに注意すると，\(C_1\) または \(D_1\) に適当に \(K\) の倍数を足すことで，\(\sum_{1 \leq i \leq H} C_i = \sum_{1 \leq i \leq W} D_i = Z\) とできます．

あとは，以下の手順を \(Z\) 回繰り返せばよいです．

• \(C_i \geq 1,D_j \geq 1\) を満たす \(i,j\) を見つける． \(i\) 行目 \(j\) 列目の値を \(1\) 減らし，\(C_i,D_j\) の値も \(1\) 減らす．

この時，\(i\) 行目 \(j\) 列目の値が減らされる回数は \(\min(C_i,D_j) \leq K-1\) で抑えられるため，負の値が書き込まれるようなこともありません． よって示されました．

解答例(pypy3)