スコアが \(v\) 以下になるかどうかを考えます．

もし，\(A_i\) を \(N\) 個のペアに分け，それぞれのペアの XOR の値をすべて \(v\) 以下にすることが可能ならば，Bob は常にペア分けに従って行動することで，スコアを \(v\) 以下にできます．

逆に，上記のペア分けが存在しない場合，必ずスコアは \(v+1\) 以上です．これは， \(v\) 以下だとすると明らかに矛盾するためです．

よってこの問題は，\(A_i\) をマッチングさせ，ペアの XOR の値を最小化する問題になります．

\(L=30\) とします． 答えの下から \(L\) bit 目が \(1\) になるかどうかをまず考えます． もし，下から \(L\) bit 目が \(0\) になる数と \(1\) になる数がそれぞれ偶数個なら，\(0/1\) で数を分類し，それぞれ同じ問題を \(L:=L-1\) として解けばよいです． そうでない場合，\(L\) bit 目が \(0\) の数と \(1\) の数のペアを一つは必ず作らないといけません． 逆に，一つ作ってしまえば，残りは \(0\) 同士，\(1\) 同士でマッチングできます．

よって，この問題は，数の集合 \(X\) と \(Y\) があり，\(X,Y\) から \(1\) つずつ要素を選んで XOR を最小化する，という問題に帰着されます． これは，Trie 木を作ることで解くことができます．

計算量は全体で \(O(NL)\) です．