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配点 : 1000 点
問題文
正の整数 M と、N 項からなる整数列 A = (A_1,A_2,\ldots,A_N) が与えられます。N+1 項からなる整数列 X = (X_1,X_2, \ldots, X_{N+1}) であって、次の条件をすべて満たすものの個数を \bmod 998244353 で求めてください。
- 1\leq X_i\leq M (1\leq i\leq N+1)
- A_iX_i\leq X_{i+1} (1\leq i\leq N)
制約
- 1\leq N\leq 1000
- 1\leq M\leq 10^{18}
- 1\leq A_i\leq 10^9
- \prod_{i=1}^N A_i \leq M
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられます。
N M A_1 A_2 \ldots A_N
出力
条件を満たす整数列の個数を \bmod 998244353 で出力してください。
入力例 1
2 10 2 3
出力例 1
7
条件を満たす整数列 X は、以下の 7 個です：
- (1, 2, 6), (1,2,7), (1,2,8), (1,2,9), (1,2,10), (1,3,9), (1,3,10)
入力例 2
2 10 3 2
出力例 2
9
条件を満たす整数列 X は、以下の 9 個です：
- (1, 3, 6), (1, 3, 7), (1, 3, 8), (1, 3, 9), (1, 3, 10), (1, 4, 8), (1, 4, 9), (1, 4, 10), (1, 5, 10)
入力例 3
7 1000 1 2 3 4 3 2 1
出力例 3
225650129
入力例 4
5 1000000000000000000 1 1 1 1 1
出力例 4
307835847
Score : 1000 points
Problem Statement
Given is a positive integer M and a sequence of N integers: A = (A_1,A_2,\ldots,A_N). Find the number, modulo 998244353, of sequences of N+1 integers, X = (X_1,X_2, \ldots, X_{N+1}), satisfying all of the following conditions:
- 1\leq X_i\leq M (1\leq i\leq N+1)
- A_iX_i\leq X_{i+1} (1\leq i\leq N)
Constraints
- 1\leq N\leq 1000
- 1\leq M\leq 10^{18}
- 1\leq A_i\leq 10^9
- \prod_{i=1}^N A_i \leq M
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N M A_1 A_2 \ldots A_N
Output
Print the number of integer sequences satisfying the conditions, modulo 998244353.
Sample Input 1
2 10 2 3
Sample Output 1
7
Seven sequences below satisfy the conditions.
- (1, 2, 6), (1,2,7), (1,2,8), (1,2,9), (1,2,10), (1,3,9), (1,3,10)
Sample Input 2
2 10 3 2
Sample Output 2
9
Nine sequences below satisfy the conditions.
- (1, 3, 6), (1, 3, 7), (1, 3, 8), (1, 3, 9), (1, 3, 10), (1, 4, 8), (1, 4, 9), (1, 4, 10), (1, 5, 10)
Sample Input 3
7 1000 1 2 3 4 3 2 1
Sample Output 3
225650129
Sample Input 4
5 1000000000000000000 1 1 1 1 1
Sample Output 4
307835847