E - Ribbons on Tree Editorial /

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配点 : 900 点

問題文

N を偶数とします。

N 頂点の木があります。 頂点には 1, 2, ..., N と番号が振られています。 各 i (1 \leq i \leq N - 1) について、i 番目の辺は頂点 x_i と y_i を結んでいます。

すぬけ君は、次のようにして木をリボンで飾りつけようと思っています。

まず、N 個の頂点を N / 2 組のペアに分けます。 このとき、各頂点はちょうど 1 つのペアに属さなければなりません。 次に、各ペア (u, v) について、1 本のリボンを u-v 間の最短パスに含まれるすべての辺を通るように張ります。

すぬけ君はペアの分け方を工夫し、「どの辺にも少なくとも 1 本のリボンが張られている」という条件が成り立つようにしようとしています。 条件が成り立つようなペアの分け方は何通りでしょうか？ 10^9 + 7 で割った余りを求めてください。 ただし、2 通りのペアの分け方が異なるとは、あるペアが一方には含まれるが他方には含まれないことを言います。

制約

  • N は偶数である。
  • 2 \leq N \leq 5000
  • 1 \leq x_i, y_i \leq N
  • 与えられるグラフは木である。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
x_1 y_1
x_2 y_2
:
x_{N - 1} y_{N - 1}

出力

条件が成り立つようなペアの分け方は何通りか？ 10^9 + 7 で割った余りを出力せよ。

入力例 1

4
1 2
2 3
3 4

出力例 1

2

ペアの分け方は次図の 3 通りであり、右側の 2 通りが条件を満たします。

入力例 2

4
1 2
1 3
1 4

出力例 2

3

ペアの分け方は次図の 3 通りであり、すべて条件を満たします。

入力例 3

6
1 2
1 3
3 4
1 5
5 6

出力例 3

10

入力例 4

10
8 5
10 8
6 5
1 5
4 8
2 10
3 6
9 2
1 7

出力例 4

672

Score : 900 points

Problem Statement

Let N be an even number.

There is a tree with N vertices. The vertices are numbered 1, 2, ..., N. For each i (1 \leq i \leq N - 1), the i-th edge connects Vertex x_i and y_i.

Snuke would like to decorate the tree with ribbons, as follows.

First, he will divide the N vertices into N / 2 pairs. Here, each vertex must belong to exactly one pair. Then, for each pair (u, v), put a ribbon through all the edges contained in the shortest path between u and v.

Snuke is trying to divide the vertices into pairs so that the following condition is satisfied: "for every edge, there is at least one ribbon going through it." How many ways are there to divide the vertices into pairs, satisfying this condition? Find the count modulo 10^9 + 7. Here, two ways to divide the vertices into pairs are considered different when there is a pair that is contained in one of the two ways but not in the other.

Constraints

  • N is an even number.
  • 2 \leq N \leq 5000
  • 1 \leq x_i, y_i \leq N
  • The given graph is a tree.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
x_1 y_1
x_2 y_2
:
x_{N - 1} y_{N - 1}

Output

Print the number of the ways to divide the vertices into pairs, satisfying the condition, modulo 10^9 + 7.

Sample Input 1

4
1 2
2 3
3 4

Sample Output 1

2

There are three possible ways to divide the vertices into pairs, as shown below, and two satisfy the condition: the middle one and the right one.

Sample Input 2

4
1 2
1 3
1 4

Sample Output 2

3

There are three possible ways to divide the vertices into pairs, as shown below, and all of them satisfy the condition.

Sample Input 3

6
1 2
1 3
3 4
1 5
5 6

Sample Output 3

10

Sample Input 4

10
8 5
10 8
6 5
1 5
4 8
2 10
3 6
9 2
1 7

Sample Output 4

672