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配点 : 700 点
問題文
文字列 s, t について、s が t の prefix でなく、t が s の prefix でないとき、s, t は prefix-free であると言います。
L を正の整数とします。 文字列集合 S が 良い文字列集合 であるとは、次の条件が成り立つことです。
- S の各文字列は、長さ 1 以上 L 以下であり、文字
0,1のみからなる。 - S の相異なる 2 つの文字列のペアはいずれも prefix-free である。
良い文字列集合 S = \{ s_1, s_2, ..., s_N \} があります。 Alice と Bob が次のゲームで勝負します。 二人は交互に次の操作を行います。 Alice が先手です。
- S に新しい文字列をひとつ追加する。 ただし、追加後の S は良い文字列集合のままでなければならない。
先に操作を行えなくなった方が負けです。 二人が最適に行動するとき、どちらが勝つか判定してください。
制約
- 1 \leq N \leq 10^5
- 1 \leq L \leq 10^{18}
- s_1, s_2, ..., s_N はすべて相異なる。
- \{ s_1, s_2, ..., s_N \} は良い文字列集合である。
- |s_1| + |s_2| + ... + |s_N| \leq 10^5
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N L s_1 s_2 : s_N
出力
Alice が勝つならば Alice を、Bob が勝つならば Bob を出力せよ。
入力例 1
2 2 00 01
出力例 1
Alice
Alice が 1 を追加すると、Bob は新たに文字列を追加できなくなります。
入力例 2
2 2 00 11
出力例 2
Bob
初手で Alice が追加できる文字列は 01, 10 の 2 通りです。
初手で Alice が 01 を追加した場合は、Bob が 10 を追加すると、Alice は新たに文字列を追加できなくなります。
初手で Alice が 10 を追加した場合も、Bob が 01 を追加すると、Alice は新たに文字列を追加できなくなります。
入力例 3
3 3 0 10 110
出力例 3
Alice
Alice が 111 を追加すると、Bob は新たに文字列を追加できなくなります。
入力例 4
2 1 0 1
出力例 4
Bob
初手で Alice は新たに文字列を追加できません。
入力例 5
1 2 11
出力例 5
Alice
入力例 6
2 3 101 11
出力例 6
Bob
Score : 700 points
Problem Statement
For strings s and t, we will say that s and t are prefix-free when neither is a prefix of the other.
Let L be a positive integer. A set of strings S is a good string set when the following conditions hold true:
- Each string in S has a length between 1 and L (inclusive) and consists of the characters
0and1. - Any two distinct strings in S are prefix-free.
We have a good string set S = \{ s_1, s_2, ..., s_N \}. Alice and Bob will play a game against each other. They will alternately perform the following operation, starting from Alice:
- Add a new string to S. After addition, S must still be a good string set.
The first player who becomes unable to perform the operation loses the game. Determine the winner of the game when both players play optimally.
Constraints
- 1 \leq N \leq 10^5
- 1 \leq L \leq 10^{18}
- s_1, s_2, ..., s_N are all distinct.
- { s_1, s_2, ..., s_N } is a good string set.
- |s_1| + |s_2| + ... + |s_N| \leq 10^5
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N L s_1 s_2 : s_N
Output
If Alice will win, print Alice; if Bob will win, print Bob.
Sample Input 1
2 2 00 01
Sample Output 1
Alice
If Alice adds 1, Bob will be unable to add a new string.
Sample Input 2
2 2 00 11
Sample Output 2
Bob
There are two strings that Alice can add on the first turn: 01 and 10.
In case she adds 01, if Bob add 10, she will be unable to add a new string.
Also, in case she adds 10, if Bob add 01, she will be unable to add a new string.
Sample Input 3
3 3 0 10 110
Sample Output 3
Alice
If Alice adds 111, Bob will be unable to add a new string.
Sample Input 4
2 1 0 1
Sample Output 4
Bob
Alice is unable to add a new string on the first turn.
Sample Input 5
1 2 11
Sample Output 5
Alice
Sample Input 6
2 3 101 11
Sample Output 6
Bob