素因数分解の一意性より，\(0\) でない整数の \(M\) 個組 \((A_1, \ldots, A_M)\) を定めることは，

• 各 \(A_i\) の符号
• 各素数 \(p\) に対して，\(A_i\) が \(p\) で割り切れる回数

を定めることと等価です．総積が \(N\) という条件は，符号と \(p\) ごとの条件に分離できます．

符号の定め方は，\(2^{M-1}\) 通りです．これは，\(A_M\) 以外の符号を定めたときに \(A_M\) の定め方がひとつに決まることから分かります．

\(N\) が \(p\) でちょうど \(e\) 回割れるとき，\(A_i\) が \(p\) で割れる回数を定める方法がいくつあるかを考えます．これは次のような数え上げです：

非負整数列 \((x_1, \ldots, x_M)\) であって，\(\sum_i x_i = e\) となるものの総数を求めよ．

これは二項係数 \(\binom{M+e-1}{e}\) に等しいです（「重複組み合わせ」「負の二項定理」などで調べてみてください）．

結局，\(|N|\) の素因数分解を \(|N| = \prod_i p_i^{e_i}\) とするとき，答は \(2^{M-1}\prod_i \binom{M+e-1}{e}\) です．