A - Broadcasting
Editorial
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ストーリー
AtCoder社は、最新情報の提供や視聴者との交流を目的とした公式生放送「あーだこーだー」をインターネット上で定期的に配信している。より多くの視聴者に生放送を観てもらいたいと考えた高橋社長は、テレビ用の放送網を構築してAA市の全住民に生放送を配信することにした。
AA市のテレビ配信網は放送局を頂点、放送局間の通信ケーブルを辺とした重み付き平面無向グラフで表現され、座標 (x_1, y_1) = (0, 0) に存在する放送局 1 にはAtCoderオフィスが併設されている。各通信ケーブルは電源の ON/OFF を設定可能であり、電源が ON である通信ケーブルのみを経由して放送局 1 から到達できる各放送局からは放送用電波を発信することが可能となる。放送用電波の出力強度は各放送局ごとに調整可能であり、出力強度によって生放送を配信可能となる領域が変化する。
通信ケーブルの使用および放送用電波の発信にはコストがかかるため、できるだけコストを抑えつつ、全ての住民に生放送を配信できるような放送網を構築して欲しい。
問題文
N 頂点 M 辺の重み付き平面無向グラフ G が与えられる。頂点 i の座標は (x_i, y_i) であり、辺 j は頂点 u_j と v_j を結ぶ重み w_j の辺である。頂点 u_j と頂点 v_j 間のユークリッド距離を四捨五入したものを D_j=\mathrm{round}\left(\sqrt{(x_{u_j}-x_{v_j})^2+(y_{u_j}-y_{v_j})^2}\right) とすると、重み w_j は 100D_j\le w_j\le 2500D_j を満たす。また住民の座標が K 個与えられ、住民 k の座標は (a_k, b_k) である。
各辺について電源の ON/OFF を、各頂点 i=1,2,\cdots,N について整数値の 出力強度 P_i\ (0\le P_i\le 5000) を設定せよ。 このとき、以下のようにして生放送が配信される。 電源が ON である辺の集合を E' とする。E' に含まれない辺を G から削除した部分グラフ G' を考え、 G' において頂点 1 と同一連結成分に含まれる頂点集合を V' とする。 各 i\in V' について、座標 (x_i, y_i) を中心とした半径 P_i の円形領域内(円周上を含む)に存在する住民が生放送を視聴可能となる。
辺 j の電源を ON に設定すると、コスト w_j が発生する。 また頂点 i の出力強度を P_i に設定すると、コスト P_i^2 が発生する。 i\notin V' である i について P_i を正の値に設定してもよいが、生放送視聴可能な領域は発生せずコストのみが発生する。 全ての住民に生放送を配信しつつコストの総和 S=\sum_{i=1}^N{P_i^2}+\sum_{j\in E'} w_j ができるだけ小さくなるような放送網を構築せよ。
得点
生放送が視聴可能となった住民の数を n 人としたとき、以下の得点が得られる。
- n\lt K の場合、 \mathrm{round}(10^6 \times (n+1)/K)
- n=K の場合、 \mathrm{round}(10^6\times(1+10^8/(S+10^7)))
S が32bit整数型に収まらない場合がある ことに注意せよ。
テストケースは全部で 300 個あり、各テストケースの得点の合計が提出の得点となる。 seed=0 の入力は手動で作成されたものであり、テストケースには含まれない。 一つ以上のテストケースで不正な出力や制限時間超過をした場合、提出全体の判定がWAやTLEとなる。 コンテスト時間中に得た最高得点で最終順位が決定され、コンテスト終了後のシステムテストは行われない。 同じ得点を複数の参加者が得た場合、提出時刻に関わらず同じ順位となる。
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N\ M\ K x_1\ y_1 \vdots x_N\ y_N u_1\ v_1\ w_1 \vdots u_M\ v_M\ w_M a_1\ b_1 \vdots a_K\ b_K
- N=100
- 100\le M \le 300
- 2000\le K\le 5000
- -10^4\le x_i, y_i, a_k, b_k\le 10^4
- 1\le u_j, v_j\le N
- 1\le w_j\le 10^8
- (x_1, y_1)=(0,0)
- (x_i, y_i)\ne (x_{i'}, y_{i'})\ (i\ne i')
- (a_k, b_k)\ne (a_{k'}, b_{k'})\ (k\ne k')
- (x_i, y_i)\ne (a_k, b_k)
- 入力はすべて整数
- 与えられるグラフは連結な平面単純無向グラフである。
- 全ての (a_k, b_k) について、少なくとも1つの (x_i, y_i) とのユークリッド距離が 5000 以下であることが保証される。
出力
辺 j の電源がONである場合は 1 、OFFである場合は 0 とした整数を B_j とするとき、以下の形式で標準出力に出力せよ。
P_1 \cdots P_N B_1 \cdots B_M
出力は以下の制約を全て満たす必要がある。満たさない場合はWAと判定される。
- 0\le P_i \le 5000
- B_j\in \lbrace 0, 1 \rbrace
- 出力は全て整数
解を複数回出力しても良い。複数出力された場合は一番最後のもののみが採点に用いられる。ビジュアライザでは複数出力された解の比較が可能である。
入力生成方法
L 以上 U 以下の整数値を一様ランダムに生成する関数を \mathrm{rand}(L,U)、
L 以上 U 未満の実数値を一様ランダムに生成する関数を \mathrm{randf}(L,U)、
平均 \mu 分散 \sigma^2 の正規分布から実数値をランダムに生成する関数を \mathrm{norm}(\mu, \sigma^2) と表す。
グラフ G の生成
- (x_1, y_1) = (0, 0) とする。
- 2\le i \le N について、x_i=\mathrm{rand}(-10000, 10000) と y_i=\mathrm{rand}(-10000, 10000) を生成する。ただし、既に生成した (x_{i'},y_{i'}) のうちいずれかとのユークリッド距離が 1000 未満であった場合は (x_i,y_i) の生成をやり直す。
- 頂点集合に対してドロネー三角形分割を計算し、三角形分割の辺集合を E とする。
- 各辺 j=1,2,\cdots,|E| に対して、頂点 u_j, v_j 間のユークリッド距離を四捨五入したものを D_j=\mathrm{round}\left(\sqrt{(x_{u_j}-x_{v_j})^2+(y_{u_j}-y_{v_j})^2}\right) として、重み w_j を \mathrm{round}((\mathrm{randf}(10, 50)) ^ 2 \times D_j) により求める。
(a_k, b_k) の生成
- K=\mathrm{rand}(2000, 5000) とする。
- 集落の中心地の個数を表す整数 R=\mathrm{rand}(20, 40) を生成する。
- 1\le r \le R について、集落の中心地を表す座標 (c_r, d_r) を c_r = \mathrm{rand}(-8000, 8000) および d_r = \mathrm{rand}(-8000, 8000) により生成する。ただし、既に生成した (c_{r'}, d_{r'}) のうちいずれかとのユークリッド距離が 2000 未満であった場合は (c_r, d_r) の生成をやり直す。
- 1\le r \le R について、集落の広がりを表す実数 \sigma _r を \sigma_r = \mathrm{randf}(200, 1000) により生成する。
- 1\le k \le K について、以下の手順により (a_k, b_k) を生成する。
- 基準とする集落の番号 r_k=\mathrm{rand}(1, R) を生成する。
- 住民の家の座標 (a_k, b_k) を a_k = \mathrm{round}(\mathrm{norm}(c_{r_k}, \sigma_{r_k}^2)) および b_k = \mathrm{round}(\mathrm{norm}(d_{r_k}, \sigma_{r_k}^2)) により生成する。ただし、 -10000\le a_k, b_k\le 10000 を満たさない場合および既に生成した (x_i, y_i) または (a_{k'}, b_{k'}) のうちいずれかの座標と一致した場合は (a_k, b_k) の生成をやり直す。
入力生成後、全ての (x_i, y_i) とのユークリッド距離が 5000 より大きい (a_k, b_k) が一つ以上存在する場合は G の生成から再度やり直す。
ツール(入力ジェネレータ・ビジュアライザ)
- Web版: ローカル版より高性能でアニメーション表示が可能です。
- ローカル版: 使用するにはRust言語のコンパイル環境をご用意下さい。
- Windows用のコンパイル済みバイナリ: Rust言語の環境構築が面倒な方は代わりにこちらをご利用下さい。
コンテスト期間中に、seed=0 に対するビジュアライザの出力画像(PNG)のみ twitter で共有が可能です。 必ず指定されたハッシュタグを用い、公開アカウントを使用して下さい。共有出来るのはseed=0に対するビジュアライズ結果と点数のみで、動画や出力文字列、他のシードでの点数の共有や、解法・考察に関する言及は禁止です。
入力例 1
100 284 5000 0 0 957 -6517 -412 -5500 -299 4489 -8357 6534 1974 -6619 1410 -8691 8833 -9829 7785 2682 -9839 443 -5084 6063 8064 4821 7008 1946 2894 -5980 -3445 9927 -1403 3591 5030 5758 3178 1199 -9263 -3926 -3126 -2879 4179 4360 5715 595 7209 -8569 823 1184 -746 749 -3409 7622 5468 -6147 -7479 1331 1299 8707 -9525 5693 6952 -1036 -1847 7832 -8129 -632 2575 -8725 4839 -8823 -1227 -2757 -865 9847 9455 -8941 2105 1380 -8588 675 -3585 -8061 -543 2285 7669 -4769 3977 7810 -6819 7984 4477 -3530 279 -3858 -3531 6521 6752 7090 -3589 3467 8840 9058 1138 4829 5927 9169 -7256 -8695 -5914 5270 7778 -9846 -283 7559 6475 3086 6568 -5629 1368 3290 -2612 -6222 5559 4602 -4431 8668 -2072 4991 -6171 666 1183 -2097 425 6606 -7755 -7400 -4505 -5471 -5776 -1337 3414 2515 -9779 7048 -9781 -9234 3446 -7015 -6939 9996 -8407 -5104 -5700 -8465 2124 7411 -7239 -1981 -3340 -4625 8108 288 -9886 2218 -6628 6156 -5001 1060 -1090 -8501 9653 -2947 7313 8497 8828 -1973 -9054 -7660 972 2185 -9188 4513 -1869 1170 -8734 -6359 -5730 7662 -6406 2570 -605 -9813 8601 5913 -4170 -2869 9790 4013 -5790 -5997 1 24 1961044 1 25 803653 1 36 2149178 1 39 720570 1 66 2666245 2 3 198863 2 6 981819 2 7 1002029 2 14 1390847 2 47 301699 2 85 6492902 3 36 3720981 3 47 972093 3 61 1755622 3 80 3855920 3 85 2673331 4 16 269170 4 42 2257144 4 52 384550 4 60 3282144 4 64 1608380 4 67 2739694 5 30 302160 5 45 479283 5 72 3777471 5 83 1793800 5 91 4240666 6 7 3372544 6 14 1088387 6 34 2853452 6 74 1681663 7 34 334110 7 85 5195354 7 96 2122187 8 23 1612119 8 38 796325 8 56 2170213 9 12 339711 9 13 179371 9 58 1600443 9 81 2137212 9 99 3223426 10 19 2104800 10 33 3223016 10 40 1052534 10 73 19940454 10 82 276713 11 26 5559911 11 48 1121239 11 50 506384 11 55 1601136 11 83 3304135 11 94 385023 12 49 1635427 12 58 565334 12 62 4806528 12 97 518106 12 99 466285 13 22 1945433 13 58 1109618 13 81 3783667 14 27 4477802 14 46 4807662 14 47 7935716 14 74 869544 15 26 1285472 15 32 4557285 15 37 3494866 15 63 1443214 15 75 6807855 16 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3315 789 6868 3895 8196 1519 3870 -4968 -3437 345 -6979 4066 -5634 3262 -2842 -2671 6742 2096 3533 -1959 -7025 5819 4192 3711 -5822
出力例 1
687 0 580 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1795 1156 0 0 672 1358 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 438 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 447 0 2681 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1942 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Story
AtCoder regularly broadcasts its official live broadcast "A-Da-Coder" on the Internet to provide the latest news and to interact with users. To reach a wider audience, CEO Takahashi decided to build a TV network to broadcast the live stream to all residents of AA City.
The TV network of AA city is represented by a weighted planar undirected graph with broadcast stations as vertices and cables between stations as edges. AtCoder's office is located in the same building as broadcast station 1 located at coordinates (x_1, y_1) = (0, 0). You can turn power ON/OFF for each cable, and each station that can be reached from the station 1 using only the cables with power ON can transmit radio waves for broadcasting. You can adjust the output strength of the broadcast radio waves for each station, and the area in which live broadcasts are delivered depends on the output strength.
Please build a TV network that can deliver live broadcasts to all residents while reducing the cost of using transmission cables and the cost of transmitting radio waves for broadcasts.
Problem Statement
You are given a weighted planar undirected graph G with N vertices and M edges. The coordinates of vertex i are (x_i, y_i). The j-th edge connects vertices u_j and v_j with the weight w_j. Let D_j=\mathrm{round}\left(\sqrt{(x_{u_j}-x_{v_j})^2+(y_{u_j}-y_{v_j})^2}\right) be the rounded Euclidean distance between vertices u_j and v_j. Then, weight w_j satisfies 100D_j\le w_j\le 2500D_j. You are also given K coordinates of the residents, and the coordinates of k-th resident are (a_k, b_k).
You should set the power ON/OFF for each edge and the output strength integer P_i\ (0\le P_i\le 5000) for each vertex i=1,2,\cdots,N. Let E' be the set of edges whose power is ON. Consider a subgraph G' obtained from G by removing edges not included in E', and let V' be the set of vertices reachable from vertex 1 in G'. For each i\in V', residents living within a circular region of radius P_i centered at coordinates (x_i, y_i) (including the circumference) will be able to view the live broadcast.
Setting the power of edge j to ON incurs a cost w_j. Also, setting the output strength of vertex i to P_i incurs a cost P_i^2. You may set P_i to a positive value for i\notin V', but this will not expand the broadcasting coverage area and incurs unnecessary costs. Please build a TV network that can deliver live broadcasts to all residents while reducing the sum of the costs S=\sum_{i=1}^N{P_i^2}+\sum_{j\in E'} w_j as small as possible.
Scoring
Let n be the number of residents in the coverage area of the live broadcast. Then you will obtain the following score.
- If n\lt K, \mathrm{round}(10^6 \times (n+1)/K).
- If n=K, \mathrm{round}(10^6\times(1+10^8/(S+10^7))).
Note that S may not fit into the 32-bit integer.
There are 300 test cases, and the score of a submission is the total score for each test case. The input for seed=0 is manually created and is not included in the test cases. If your submission produces an illegal output or exceeds the time limit for some test cases, the submission itself will be judged as WA or TLE , and the score of the submission will be zero. The highest score obtained during the contest will determine the final ranking, and there will be no system test after the contest. If more than one participant gets the same score, they will be ranked in the same place regardless of the submission time.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N\ M\ K x_1\ y_1 \vdots x_N\ y_N u_1\ v_1\ w_1 \vdots u_M\ v_M\ w_M a_1\ b_1 \vdots a_K\ b_K
- N=100
- 100\le M \le 300
- 2000\le K\le 5000
- -10^4\le x_i, y_i, a_k, b_k\le 10^4
- 1\le u_j, v_j\le N
- 1\le w_j\le 10^8
- (x_1, y_1)=(0,0)
- (x_i, y_i)\ne (x_{i'}, y_{i'})\ (i\ne i')
- (a_k, b_k)\ne (a_{k'}, b_{k'})\ (k\ne k')
- (x_i, y_i)\ne (a_k, b_k)
- All inputs are integers.
- The given graph is a connected planar simple undirected graph.
- For all (a_k, b_k), it is guaranteed that Euclidean distance to at least one (x_i, y_i) is less than or equal to 5000.
Output
Let B_j be an integer whose value is 1 if the power of edge j is ON and 0 if it is OFF. Then, output to Standard Output in the following format.
P_1 \cdots P_N B_1 \cdots B_M
The output must satisfy all of the following constraints. If not satisfied, the submission will be judged as WA.
- 0\le P_i \le 5000
- B_j\in \lbrace 0, 1 \rbrace
- All inputs must be integers.
You may output multiple solutions. If you output more than one solution, only the last one is used for scoring. You can compare solutions by using the web visualizer.
Input Generation
Let \mathrm{rand}(L,U) be a function that generates a uniform random integer between L and U, inclusive.
Let \mathrm{randf}(L,U) be a function that generates a uniform random real number at least L and less than U.
Let \mathrm{norm}(\mu, \sigma^2) be a function that randomly generates a real number from the normal distribution with mean \mu variance \sigma^2.
Generation of graph G
- Let (x_1, y_1) = (0, 0).
- For each 2\le i \le N, generate x_i=\mathrm{rand}(-10000, 10000) and y_i=\mathrm{rand}(-10000, 10000). If the Euclidean distance between the generated point (x_i,y_i) and an already generated point (x_{i'},y_{i'}) is less than 1000, we re-generate (x_i,y_i).
- Compute Delaunay triangulation of the set of the generated points. Let E be the set of edges of the triangulation.
- For each edge j=1,2,\cdots,|E|, let D_j=\mathrm{round}\left(\sqrt{(x_{u_j}-x_{v_j})^2+(y_{u_j}-y_{v_j})^2}\right) be the rounded Euclidean distance between vertices u_j and v_j. Then we generate w_j by \mathrm{round}((\mathrm{randf}(10, 50)) ^ 2 \times D_j).
Generation of (a_k, b_k)
- Generate K=\mathrm{rand}(2000, 5000).
- Generate an integer R=\mathrm{rand}(20, 40) representing the number of clusters.
- For each 1\le r \le R, generate the center (c_r, d_r) of the r-th cluster by c_r = \mathrm{rand}(-8000, 8000) and d_r = \mathrm{rand}(-8000, 8000). If the Euclidean distance between the generated center (c_r,d_r) and an already generated point (c_{r'},d_{r'}) is less than 2000, we re-generate (c_r,d_r).
- For each 1\le r \le R, generate \sigma_r = \mathrm{randf}(200, 1000) representing the spread of the cluster.
- For each 1\le k \le K, generate (a_k, b_k) as follows.
- Generate r_k=\mathrm{rand}(1, R).
- Generate the coordinates (a_k, b_k) of the k-th resident by a_k = \mathrm{round}(\mathrm{norm}(c_{r_k}, \sigma_{r_k}^2)) and b_k = \mathrm{round}(\mathrm{norm}(d_{r_k}, \sigma_{r_k}^2)). If they do not satisfy -10000\le a_k, b_k\le 10000 or coincide with some of the already generated coordinates (x_i, y_i) or (a_{k'}, b_{k'}), we re-generate (a_k, b_k).
After generating the input, if there exists (a_k, b_k) such that the Euclidean distance to all (x_i, y_i) is greater than 5000, we discard the generated input and start over again from the generation of G.
Tools (Input generator and visualizer)
- Web version: This is more powerful than the local version and can display animations.
- Local version: You need a compilation environment of Rust language.
- Pre-compiled binary for Windows: If you are not familiar with the Rust language environment, please use this instead.
You are allowed to share output images (PNG) of the provided visualizer for seed=0 on twitter during the contest. You have to use the specified hashtag and public account. You can only share visualization results and scores for seed=0. Do not share videos, output itself, scores for other seeds or mention solutions or discussions.
Sample Input 1
100 284 5000 0 0 957 -6517 -412 -5500 -299 4489 -8357 6534 1974 -6619 1410 -8691 8833 -9829 7785 2682 -9839 443 -5084 6063 8064 4821 7008 1946 2894 -5980 -3445 9927 -1403 3591 5030 5758 3178 1199 -9263 -3926 -3126 -2879 4179 4360 5715 595 7209 -8569 823 1184 -746 749 -3409 7622 5468 -6147 -7479 1331 1299 8707 -9525 5693 6952 -1036 -1847 7832 -8129 -632 2575 -8725 4839 -8823 -1227 -2757 -865 9847 9455 -8941 2105 1380 -8588 675 -3585 -8061 -543 2285 7669 -4769 3977 7810 -6819 7984 4477 -3530 279 -3858 -3531 6521 6752 7090 -3589 3467 8840 9058 1138 4829 5927 9169 -7256 -8695 -5914 5270 7778 -9846 -283 7559 6475 3086 6568 -5629 1368 3290 -2612 -6222 5559 4602 -4431 8668 -2072 4991 -6171 666 1183 -2097 425 6606 -7755 -7400 -4505 -5471 -5776 -1337 3414 2515 -9779 7048 -9781 -9234 3446 -7015 -6939 9996 -8407 -5104 -5700 -8465 2124 7411 -7239 -1981 -3340 -4625 8108 288 -9886 2218 -6628 6156 -5001 1060 -1090 -8501 9653 -2947 7313 8497 8828 -1973 -9054 -7660 972 2185 -9188 4513 -1869 1170 -8734 -6359 -5730 7662 -6406 2570 -605 -9813 8601 5913 -4170 -2869 9790 4013 -5790 -5997 1 24 1961044 1 25 803653 1 36 2149178 1 39 720570 1 66 2666245 2 3 198863 2 6 981819 2 7 1002029 2 14 1390847 2 47 301699 2 85 6492902 3 36 3720981 3 47 972093 3 61 1755622 3 80 3855920 3 85 2673331 4 16 269170 4 42 2257144 4 52 384550 4 60 3282144 4 64 1608380 4 67 2739694 5 30 302160 5 45 479283 5 72 3777471 5 83 1793800 5 91 4240666 6 7 3372544 6 14 1088387 6 34 2853452 6 74 1681663 7 34 334110 7 85 5195354 7 96 2122187 8 23 1612119 8 38 796325 8 56 2170213 9 12 339711 9 13 179371 9 58 1600443 9 81 2137212 9 99 3223426 10 19 2104800 10 33 3223016 10 40 1052534 10 73 19940454 10 82 276713 11 26 5559911 11 48 1121239 11 50 506384 11 55 1601136 11 83 3304135 11 94 385023 12 49 1635427 12 58 565334 12 62 4806528 12 97 518106 12 99 466285 13 22 1945433 13 58 1109618 13 81 3783667 14 27 4477802 14 46 4807662 14 47 7935716 14 74 869544 15 26 1285472 15 32 4557285 15 37 3494866 15 63 1443214 15 75 6807855 16 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Sample Output 1
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