初めに解説で使う記法を定義します．

• 文字列 \(S\) が \(T\) より辞書順で小さいもしくは等しいとき，\(S\leq T\) と書く．
• 文字列 \(S\) 全体を反転して得られる文字列を \(\mathrm{rev}(S)\) と書く．
• \(S\) の \(l\) 文字目から \(r\) 文字目までからなる部分文字列を \(S[l:r]\) と書く．

\(X\) を \(Y\) にできる必要十分条件は以下です．

• \(X\) と \(Y\) に含まれる A の個数が等しい
• \(X\leq Y\)
• \( \mathrm{rev}(Y)\leq \mathrm{rev}(X)\)

上が必要条件であることは明らかです．十分条件であることを実際の構築手法を提示することで示します．

\(X_1, X_N, Y_1, Y_N\) がそれぞれ A, B, B, A で，かつ \(X\) と \(Y\) の A の個数が等しい場合を考えます．

途中で \((l, r) = (1, N)\) の操作を必ず挟むようにします．これより前の操作を \(\mathrm{op\_front}\)，後の操作を \(\mathrm{op\_back}\) とします．

ここで，\(\mathrm{op\_back}\) を \(Y\) に対する操作とみなすことにします．\(\mathrm{op\_back}\) を逆順に見ると，

• \(Y_l, Y_r\) が B, A であるような \((l, r)\) に対し，\(Y[l:r]\) を反転させる

に対応します．

\(X\) に対して \(\mathrm{op\_front}\) と \((1,N)\) をこの順に行って得られる文字列を \(X'\) ，\(Y\) に対して\(\mathrm{op\_back}\) の逆順に操作を行って得られる文字列を \(Y'\) とすれば，\(X'=Y'\) です．

\(S\) を \(X[2:N-1]\)，\(T\) を \(Y[2:N-1]\)を 反転 させた文字列とすると，以下の問題と等価になります．

• 以下の操作を合計で高々 \(\frac{N-2}{2}\) 回行って，\(S=T\) にせよ．
  1. \(S_l, S_r\) が A, B であるような \((l,r)\ (1\leq l\lt r\leq N-2)\) を選び，\(S[l:r]\) を反転する
  2. \(T_l, T_r\) が A, B であるような \((l,r)\ (1\leq l\lt r\leq N-2)\) を選び，\(T[l:r]\) を反転する

\(1\) 種類目の操作を操作順に並べた列が \(\mathrm{op\_front}\)，\(2\) 種類目の操作を操作の 逆順 に並べた列が \(\mathrm{op\_back}\) に対応します．

上の問題を考えます．\(S\) に含まれる A の個数が B の個数より少ない場合を考えます．\(S,T\) における A の出現位置を昇順に並べた列を \(p,q\) とします．\(i = |p|, |p|-1, \dots,1\) の順に以下を行うことで \(S=T\) にすることができます．

• \(p_i=q_i\) のとき：なにもしない
• \(p_i\lt q_i\) のとき：\(l=p[i],r=q[i]\) として \(S[l:r]\) を反転する．
• \(p_i\gt q_i\) のとき：\(l=q[i],r=p[i]\) として \(T[l:r]\) を反転する．

\(|p|\leq \frac{N-2}{2}\) なので，操作回数は \(\frac{N-2}{2}\) 回以下です．A の方が多く含まれる場合も同様の方法で \(\frac{N-2}{2}\) 回以下の操作で目標を達成できます．