writer 解とは別方針のものを、ひとつ書いておきます。

\(3N\) 個の黒マスを \(N\) 個の成分に分けるわけですが、その大部分を大きさ \(1\) の成分で作ることにします。 およそ \(2N\) の大きさの巨大な連結成分をひとつ作ることにして、それを対角に作ったあと、大きさ \(1\) の成分を主体に微調整すると、次のような解が得られます。

N = 6    N = 7     N = 8
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