正 \(12\) 角形の箱 (\(1\) 辺の長さ \(d\)) があるとして、内部をタイルで敷き詰める方法の数を数えましょう。

多角形 (箱) の頂点を考えます。内角は \(150\) 度であるため、覆うには正三角形と正方形を \(1\) 枚ずつ使う必要があります。これには \(2\) 通りの方法があり、このどちらを使うかを決めると、他の何枚かのタイルの位置も確定します。そして、残りの領域は再びすべての内角が \(150\) 度であるような \(12\) 角形となりますが、辺の長さは \(d, d-1, d, d-1, d, d-1, d, d-1, d, d-1, d, d-1\) となっています。

辺の長さが \(a, b, a, b, \ldots\) の \(12\) 角形の箱の内部を敷き詰める方法の数を \(f(a, b)\) とすると、同様の観察により \(f(a, b) = f(a - 1, b) + f(a, b - 1)\) となります。よって、\(f(a, b) = \binom{a + b}{a}\) (二項係数) です。

ただし、回転による区別をなくすためにこれを \(2\) で割る必要があり、答えは \(\frac{1}{2} \binom{a + b}{a}\) となります。