まず，\(S\)>atcoder が初期状態で満たされていれば，\(0\) が答えです． また，\(S\) が a のみからなる文字列なら，\(-1\) が答えです．

それ以外の場合を考えます．\(S\) を先頭から見て，a 以外の文字が始めて出現する位置が \(k\) 文字目であるとします． まず，答えは \(k-1\) もしくは \(k-2\) です． もし \(k-3\) 以下だとすると，\(S\) の先頭 \(2\) 文字は aa になってしまうので，\(S<\)atcoder です． 逆に，\(k-1\) 回操作すれば，\(S\) の先頭まで \(S_k\) を移動させてくることができ，\(S>\)atcoderとなります．

\(k-2\) 回の操作で \(S>\)atcoder になるとすれば，それは \(S_k\) を\(S\) の \(2\) 番目の位置まで移動させた場合のみです． なので，それで実際に \(S>\)atcoder となるか判定すれば，答えが \(k-1\) か \(k-2\) かわかります． なお，よく考えると，\(S_k\leq\)t なら \(k-1\) 回，そうでないなら \(k-2\) 回であることもわかります． 計算量は \(O(|S|)\) です．