E - Random Pawn /

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配点 : 1300

問題文

あなたの目的は、これからプレイするゲームでの利得の期待値を最大化することです。 ゲームを開始すると、ポーン (チェスの駒) が \{1,2,\dots, N\} から等確率に選ばれた位置 p に置かれます。これらの N 個の位置 1, 2, \dots, N は円周上に時計回りに並び、位置 1 の両隣は位置 N, 2 です。

ゲームはターン制で進行します。各ターンでは、ゲームを終えて A_p ドル (p はその時点でのポーンの位置) を得るか、B_p ドルを支払ってゲームを続けるかを選べます。 ゲームを続ける場合、ポーンは自身と隣接する 2 つの位置 p-1, p+1 のいずれかに等確率で移されます (位置 0 は位置 N と、位置 N+1 は位置 1 とみなします)。

最適な戦略の期待利得は何ドルでしょうか。

注記: 「最適な戦略の期待利得」は、ゲームが 有限の ターン数で終わるような戦略における期待利得の上限と定義されます。

制約

  • 2 \le N \le 200,000
  • 0 \le A_p \le 10^{12} (p = 1,\ldots, N)
  • 0 \le B_p \le 100 (p = 1, \ldots, N)
  • 入力中のすべての値は整数である。

入力

入力は標準入力から以下の形式で与えられる。

N
A_1 A_2 \cdots A_N
B_1 B_2 \cdots B_N

出力

最適な戦略の期待利得を 1 個の実数として出力せよ。

出力された値は、絶対誤差または相対誤差が 10^{-10} を超えなければ正解とみなされる。


入力例 1

5
4 2 6 3 5
1 1 1 1 1

出力例 1

4.700000000000

入力例 2

4
100 0 100 0
0 100 0 100

出力例 2

50.000000000000

入力例 3

14
4839 5400 6231 5800 6001 5200 6350 7133 7986 8012 7537 7013 6477 5912
34 54 61 32 52 61 21 43 65 12 45 21 1 4

出力例 3

7047.142857142857

入力例 4

10
470606482521 533212137322 116718867454 746976621474 457112271419 815899162072 641324977314 88281100571 9231169966 455007126951
26 83 30 59 100 88 84 91 54 61

出力例 4

815899161079.400024414062

Score : 1300 points

Problem Statement

You are playing a game and your goal is to maximize your expected gain. At the beginning of the game, a pawn is put, uniformly at random, at a position p\in\{1,2,\dots, N\}. The N positions are arranged on a circle (so that 1 is between N and 2).

The game consists of turns. At each turn you can either end the game, and get A_p dollars (where p is the current position of the pawn), or pay B_p dollar to keep playing. If you decide to keep playing, the pawn is randomly moved to one of the two adjacent positions p-1, p+1 (with the identifications 0 = N and N+1=1).

What is the expected gain of an optimal strategy?

Note: The "expected gain of an optimal strategy" shall be defined as the supremum of the expected gain among all strategies such that the game ends in a finite number of turns.

Constraints

  • 2 \le N \le 200,000
  • 0 \le A_p \le 10^{12} for any p = 1,\ldots, N
  • 0 \le B_p \le 100 for any p = 1, \ldots, N
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
A_1 A_2 \cdots A_N
B_1 B_2 \cdots B_N

Output

Print a single real number, the expected gain of an optimal strategy. Your answer will be considered correct if its relative or absolute error does not exceed 10^{-10}.


Sample Input 1

5
4 2 6 3 5
1 1 1 1 1

Sample Output 1

4.700000000000

Sample Input 2

4
100 0 100 0
0 100 0 100

Sample Output 2

50.000000000000

Sample Input 3

14
4839 5400 6231 5800 6001 5200 6350 7133 7986 8012 7537 7013 6477 5912
34 54 61 32 52 61 21 43 65 12 45 21 1 4

Sample Output 3

7047.142857142857

Sample Input 4

10
470606482521 533212137322 116718867454 746976621474 457112271419 815899162072 641324977314 88281100571 9231169966 455007126951
26 83 30 59 100 88 84 91 54 61

Sample Output 4

815899161079.400024414062