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配点 : 800 点
問題文
整数 N, X が与えられます。0 以上 X 以下のすべての整数 k に対し、 k に以下の操作を繰り返すことによって次に k に戻るまでの操作回数 (戻らない場合 0) を足し合わせた値を 998244353 で割ったあまりを求めてください。
- 現在の整数が奇数なら、1 を引いて 2 で割る。そうでなければ、2 で割って 2^{N-1} を足す。
制約
- 1 \leq N \leq 2\times 10^5
- 0 \leq X < 2^N
- X は 2 進表記でちょうど N 桁与えられる (X が N 桁より少ない場合、leading zero をつけて与えられる。)
- 入力はすべて整数である
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N X
出力
0 以上 X 以下のすべての整数に対し、 操作を繰り返すことによってもとの整数に戻るまでの操作回数 (戻らない場合 0) を足し合わせた値を 998244353 で割ったあまりを出力せよ。
入力例 1
3 111
出力例 1
40
例えば、k=3 のとき、操作によって整数は 1,0,4,6,7,3 と順に変化します。したがって、k=3 のときの操作回数は 6 です。
入力例 2
6 110101
出力例 2
616
入力例 3
30 001110011011011101010111011100
出力例 3
549320998
Score : 800 points
Problem Statement
Given are integers N and X. For each integer k between 0 and X (inclusive), find the answer to the following question, then compute the sum of all those answers, modulo 998244353.
- Let us repeat the following operation on the integer k. Operation: if the integer is currently odd, subtract 1 from it and divide it by 2; otherwise, divide it by 2 and add 2^{N-1} to it. How many operations need to be performed until k returns to its original value? (The answer is considered to be 0 if k never returns to its original value.)
Constraints
- 1 \leq N \leq 2\times 10^5
- 0 \leq X < 2^N
- X is given in binary and has exactly N digits. (In case X has less than N digits, it is given with leading zeroes.)
- All values in input are integers.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N X
Output
Print the sum of the answers to the questions for the integers between 0 and X (inclusive), modulo 998244353.
Sample Input 1
3 111
Sample Output 1
40
For example, for k=3, the operation changes k as follows: 1,0,4,6,7,3. Therefore the answer for k=3 is 6.
Sample Input 2
6 110101
Sample Output 2
616
Sample Input 3
30 001110011011011101010111011100
Sample Output 3
549320998