D - Inversion Sum Editorial /

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配点 : 1000 点

問題文

長さ N の整数列 A_1,A_2,...,A_N が与えられます。Q 回の操作を順に行います。 i 回目の操作は 2 つの整数 X_i,Y_i を用いて表され、以下の 2 つの操作からちょうど片方を選んで行います。

  • A_{X_i} と A_{Y_i} の値を入れ替える
  • 何もしない

操作の行い方は 2^Q 通りあります。これらすべての操作の行い方に対する最終的な数列の反転数をすべて足し合わせたものを 10^9+7 で割ったあまりを求めてください。

ただし、数列 P_1,P_2,...,P_M の反転数とは、1\leq i < j\leq M かつ P_i > P_j を満たすような整数の組 (i,j) の個数です。

制約

  • 1 \leq N \leq 3000
  • 0 \leq Q \leq 3000
  • 0 \leq A_i \leq 10^9(1\leq i\leq N)
  • 1 \leq X_i,Y_i \leq N(1\leq i\leq Q)
  • X_i\neq Y_i(1\leq i\leq Q)
  • 入力はすべて整数である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N Q
A_1
:
A_N
X_1 Y_1
:
X_Q Y_Q

出力

最終的な数列の反転数の総和を 10^9+7 で割ったあまりを出力せよ。

入力例 1

3 2
1
2
3
1 2
1 3

出力例 1

6

操作の行い方としてありうるものは次の 4 通りです。

  • 1 回目も 2 回目は何もしない。最終的な数列は 1,2,3 であり、反転数は 0 である。
  • 1 回目は何もせず、2 回目は入れ替えを行う。最終的な数列は 3,2,1 であり、反転数は 3 である。
  • 1 回目は入れ替えを行い、2 回目は何もしない。最終的な数列は 2,1,3 であり、反転数は 1 である。
  • 1 回目も 2 回目も入れ替えを行う。最終的な数列は 3,1,2 であり、反転数は 2 である。

これらの反転数の総和である、0+3+1+2=6 を出力します。

入力例 2

5 3
3
2
3
1
4
1 5
2 3
4 2

出力例 2

36

入力例 3

9 5
3
1
4
1
5
9
2
6
5
3 5
8 9
7 9
3 2
3 8

出力例 3

425

Score : 1000 points

Problem Statement

You are given an integer sequence of length N: A_1,A_2,...,A_N. Let us perform Q operations in order. The i-th operation is described by two integers X_i and Y_i. In this operation, we will choose one of the following two actions and perform it:

  • Swap the values of A_{X_i} and A_{Y_i}
  • Do nothing

There are 2^Q ways to perform these operations. Find the sum of the inversion numbers of the final sequences for all of these ways to perform operations, modulo 10^9+7.

Here, the inversion number of a sequence P_1,P_2,...,P_M is the number of pairs of integers (i,j) such that 1\leq i < j\leq M and P_i > P_j.

Constraints

  • 1 \leq N \leq 3000
  • 0 \leq Q \leq 3000
  • 0 \leq A_i \leq 10^9(1\leq i\leq N)
  • 1 \leq X_i,Y_i \leq N(1\leq i\leq Q)
  • X_i\neq Y_i(1\leq i\leq Q)
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N Q
A_1
:
A_N
X_1 Y_1
:
X_Q Y_Q

Output

Print the sum of the inversion numbers of the final sequences, modulo 10^9+7.

Sample Input 1

3 2
1
2
3
1 2
1 3

Sample Output 1

6

There are four ways to perform operations, as follows:

  • Do nothing, both in the first and second operations. The final sequence would be 1,2,3, with the inversion number of 0.
  • Do nothing in the first operation, then perform the swap in the second. The final sequence would be 3,2,1, with the inversion number of 3.
  • Perform the swap in the first operation, then do nothing in the second. The final sequence would be 2,1,3, with the inversion number of 1.
  • Perform the swap, both in the first and second operations. The final sequence would be 3,1,2, with the inversion number of 2.

The sum of these inversion numbers, 0+3+1+2=6, should be printed.

Sample Input 2

5 3
3
2
3
1
4
1 5
2 3
4 2

Sample Output 2

36

Sample Input 3

9 5
3
1
4
1
5
9
2
6
5
3 5
8 9
7 9
3 2
3 8

Sample Output 3

425