\(S=\sum_i K_i\) とします。

あらかじめ、各サイコロ \(i\) について

\(\mathrm{count}_i[X]=サイコロ i の面のうち、Xが書かれているものの個数\)

という連想配列を用意します。これは全ての \(i\) について合計で \(O(S\log S)\) 時間でできます。

\(2\) つのサイコロ \(i,j\) を振ったときに同じ目が出る確率を考えます。これは、サイコロ \(i\) の各目 \(X\) に対してサイコロ \(j\) が \(X\) の面を何個持つかがわかればよいため、連想配列 \(\mathrm{count}_j\) を用いることで \(O(K_i \log K_j)\) 時間で求めることができます。

よって \(2\) つのサイコロの選び方を全探索することで、\(\sum_{i,j} O(K_i \log K_j)=O(NS\log S)\) 時間で答えを求めることができます。