何らかの正整数 \(a\) に対し，\(1+2+\ldots+k=aN\) が成り立てばよいです． 式を整理し，\(k(k+1)=2aN\) とします．

上の式が成り立つ時，ある整数 \(x\) が存在して，以下の条件がすべて成り立ちます．

• \(x\) は \(2N\) の約数
• \(x\) は \(k\) の約数
• \(2N/x\) は \(k+1\) の約数

この \(x\) を固定してみます． \(y=2N/x\) とおきます． すると問題は，\(k=0 \bmod x\), \(k=-1 \bmod y\) を満たす最小の正整数 \(k\) を求めることに帰着されます． これは，CRTで解くことができます．

最後に，\(x\) の候補として，\(2N\) の約数をすべて試せばよいです． 約数列挙を行うのに \(O(\sqrt N)\) 時間かかり，また，各約数について \(O(logN)\) 時間の計算量がかかります． 今回の制約では，約数の個数は最大でも \(30720\) 個なので，これで間に合います．