マッチング \(\{mx, mx\}\) が \(a\) 組あるとします。必ず \(mx+1\) 勝の人がちょうど \(a\) 人だけ生まれるので、\(x^a\) となります。
\(\{mx, mx-1\text{以下}\}\) と \(\{mx-1\text{以下}, mx\}\) が合わせて \(b\) 組あるとします。\(1\)組あたり確率 \(\frac{1}{2}\) で0人、確率 \(\frac{1}{2}\) で1人生まれるので、\((\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x)^b\) となります。
それ以外の組からは、勝ち数が \(mx+1\) の人は生まれません。

\(f = x^a (\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x)^b\)

優勝するには、自分が \(mx\) 勝でさらに勝つ必要があります。
自分が \(mx\) 勝でないなら、\(0\) です。
自分が \(mx\) 勝なら、\(\sum_{i=0}^{N-1} [x^i] f \times \frac{1}{i+1}\) です。

\(\{mx, mx\}\) の組が存在すると、優勝者の勝利数は \(mx+1\) となります。 以下では \(\{mx, mx\}\) の組が存在しないことを仮定します。
\(mx+1\) 勝する人が生まれてはいけないことに注意しながら考えます。
\(\{mx-1, mx\}\) と \(\{mx, mx-1\}\) が合わせて \(a\) 組あるとします。\(mx-1\) 側が勝たないといけません。
このとき、\(mx\) 勝が2人生まれるので、\((\frac{1}{2} x^2)^a\) となります。
\(\{mx-2, mx\}\) と \(\{mx, mx-2\}\) が合わせて \(b\) 組あるとします。\(mx-2\) 側が勝たないといけません。
このとき、\(mx\) 勝が1人生まれるので、\((\frac{1}{2} x)^b\) となります。
\(\{mx-1, mx-1\}\) が \(c\) 組あるとします。
このとき、\(mx\) 勝が必ず1人生まれるので、\(x^c\) となります。
\(\{mx-1, mx-2\text{以下}\}\) と \(\{mx-2\text{以下}, mx-1\}\) が \(d\) 組あるとします。
このとき、確率 \(\frac{1}{2}\) で \(mx\) 勝が1人生まれるので、\((\frac{1}{2} x)^d\) となります。

\(f = (\frac{1}{2} x^2)^a (\frac{1}{2} x)^b x^c (\frac{1}{2} x)^d\)

自分が \(mx-2\) 勝以下なら、優勝できません。
\(k\) は、相手が \(mx\) 勝なら \(1\)、そうでないなら \(0\) とします。
自分が \(mx-1\) 勝なら、\(\sum_{i=0}^{2N} [x^i] f \times \frac{1}{i+1+k}\) です。
\(l\) は、相手が \(mx-1\) 勝なら \(1\)、そうでないなら \(0\) とします。
自分が \(mx\) 勝なら、\(\sum_{i=0}^{2N} [x^i] f \times \frac{1}{i+1+l}\) です。