\(N\) を \(10007M\) で割った商を \(q\)、余りを \(r\) とします。すなわち

\(N = 10007M \cdot q + r\)

です。両辺を \(M\) で割った商をとると

\(\lfloor \frac{N}{M} \rfloor = 10007q + \lfloor \frac{r}{M} \rfloor\)

となります。\(0 \leq r < 10007M\) より \(0 \leq \lfloor \frac{r}{M} \rfloor < 10007\) であるため、\(\lfloor \frac{N}{M} \rfloor\) を \(10007\) で割った余りは \(\lfloor \frac{r}{M} \rfloor\) です。