\(N\) を表す数式の長さの最小値を \(f(N)\) とします。

• \(f(1)=1\) です
• (n)*(1+1) で \(2n\) を作ることができるため、\(f(2n)\leq f(n)+8\) です
• (n)*(1+1)+1 で \(2n+1\) を作ることができるため、\(f(2n+1)\leq f(n)+10\) です

よって以上より、

\(f(N) \\ \leq f(\lfloor\frac{N}{2}\rfloor)+10 \\ \leq f(\lfloor\frac{N}{4}\rfloor)+20 \\ \leq \dots \\ \leq 1+10\lceil\log_{2}N\rceil=O(\log N)\)