問題文から，数えるべきグラフは，1 点または素数サイクル（長さが 3 以上の素数であるようなサイクル）を橋でつないだものであることが分かります．

\(a_n\) を，ラベル付き \(n\) 頂点 からなる「1 点または素数サイクル」の個数とします．具体的には \(a_1=1\) かつ奇素数 \(p\) に対して \(a_p=(p-1)!/2\) です．

これらを橋でつなぐ際には次の数え上げが登場します：

• \(S_1, \ldots, S_M\) を連結グラフとする．これらを \(M-1\) 個の橋で結んで連結にする方法を数え上げよ．

これは \(N^{M-2}\cdot \prod |S_i|\) です（\(N=\sum |S_i|\)）．最近の出題だとたとえば https://atcoder.jp/contests/ttpc2023/tasks/ttpc2023_p の解説を見てください．

よって，\(F =\sum_n (na_n)\cdot \dfrac{x^n}{n!}\) とすると，\(M\) 個の「点または素数サイクル」からつくられる \(G\) の数え上げは \(N!\cdot N^{M-2}[x^N]\dfrac{F^M}{M!}\) となります．不慣れな方向けに解説すると

• \(/M!\)：\(M\) 個の成分にラベルをつけて数えたあと最後に \(M!\) で割る
• 成分の大きさを \(i_1,\ldots,i_M\) とする．\(N\) 頂点のこれらのグループへの分割が \(N!/i_1!\cdots i_M!\) あって，\(F\) の係数の分母 \(n!\) と答を計算するところの \(N!\) に入っている．
• 分割を決めたら，具体的なグラフの作り方 \(a_n\) および連結成分の大きさ \(|S_i|\) に対応する \(n\) をかけることになるのでこれが \(F\) の定義式の分子．

したがって，\(F\) を既知として \(\sum_M N^{M-2}\dfrac{F^M}{M!}\) が求まればよいです．これは \(\exp(NF)/N^2\) です．

• 解答例：https://atcoder.jp/contests/abc387/submissions/61400530