言い換え後の問題は公式解説を参照してください。

TTPCのこの問題などで過去に出題されたことなのですが、いくつかの連結成分を辺で繋いで木にする方法の個数は、連結成分の個数を\(k\)、連結成分のサイズを\(c_i\)、その総和を\(n\)として\(n^{k-2}\prod c_i\)です。

この事実を踏まえると、以下の式が答えであることが確認できます。

\(\displaystyle\frac{N!}{N^2}[x^N] \exp{\left(Nx+\sum_{p \geq 3,p : \mathrm{prime}}\frac{Nx^p}{2}\right)}\)