\(k\leq 10\) という制約を除いても解けます．軽く紹介しておきます．

\(O(N\log^2 N+Q\log N)\) 解法

方針は元の解説と同じです．各連結成分に含まれる頂点を，集合の中で \(k\) 番目に大きい要素を高速に（例えば \(O(\log N)\) で）取得することができる set で管理することで，マージテクと合わせて \(O(N\log^2 N+Q\log N)\) で解くことができます．

\(O((N+Q)\log N)\) 解法

UnionFind のマージ過程を表す木を作ると，クエリ \(2\) は「頂点 \(u\) の部分木にある頂点のうち \(k\) 番目に大きいものは？」というクエリに言い換えることができます．これは Subtree K-th Max そのものであり，この問題のユーザー解説にあるようにオイラーツアーをして部分木を区間に対応させ，Wavelet Matrix を用いることで \(O((N+Q)\log N)\) で解くことができます．